1. Σημειώστε 3 σημεία στο επίπεδο, \(A,\, B,\, C\), τα οποία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Πόσα διαφορετικά παραλληλόγραμμα μπορείτε να κατασκευάσετε, που να έχουν τα σημεία \(A,\, B,\, C\), ως 3 από τις κορυφές τους (όχι υποχρεωτικά με αυτή τη σειρά).

Εάν σημειώσετε \( D,\, D',\, \ldots\) την τέταρτη κορυφή αυτών των παραλληλογράμμων, γράψτε για κάθε παραλληλόγραμμο την πρόσθεση των δύο διανυσμάτων που έχουν κοινή αρχή στο σημείο \(A\). Για παράδειγμα, εάν \(ABCD\) είναι ένα από τα παραλληλόγραμμα, η πρόσθεση είναι \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\).

2. Σημειώστε δύο σημεία \(A,\, B\), στο επίπεδο, και βρείτε σημεία \(C,\, D,\, E\) τέτοια ώστε:
α. \(|\overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{AB}|\) και \( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\).

β. \(\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} \).  Παρατηρήστε οτι τότε \( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 2|\overrightarrow{AB}|^2\).

γ. \(|\overrightarrow{AE}| = 2|\overrightarrow{AB}|\)  και \( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB} = -|\overrightarrow{AB}|^2\).

3. Δείξετε με ένα παράδειγμα οτι \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)  ΔΕΝ ΣΥΝΕΠΑΓΕΤΑΙ ΠΩΣ είτε \( \vec{u}=0\) είτε \( \vec{v} = 0\).
Χρησιμοποιήστε το γεωμετρικό ορισμό του εσωτερικού γινομένου, \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|( \mathrm{pr\,}_{\vec{v}}\vec{u}) \).

4. Σχεδιάστε μία οξεία γωνία \(\angle(OΑ,ΟΒ)\). Επιλέξτε το σημείο \(Β\) έτσι ώστε η προβολή του \(\overrightarrow{OB} \) στο \( \overrightarrow{OA}\)  να είναι ίση με \( \overrightarrow{OΑ} \).

Σχεδιάστε μία αμβλεία γωνία \(\angle(OC,ΟD)\). Επιλέξτε το σημείο \(D\) έτσι ώστε η προβολή του \(\overrightarrow{OD} \) στο \( \overrightarrow{OC}\) να είναι ίση με \( -\overrightarrow{OC}\).

5. Σημειώστε δύο σημεία \(A,\, B\) στο επίπεδο. Πού πρέπει να βρίσκεται το σημείο \(C\), έτσι ώστε, εάν \( \vec{u} = \overrightarrow{AB}\) και \( \vec{v} = \overrightarrow{AC}\) να ισχύει \(\vec{u} \cdot (\vec{u}+\vec{v}) = 0\);
Last modified: Sunday, 28 June 2015, 9:23 AM