Παρατήρηση: Στις 3 πρώτες ασκήσεις εργαστείτε με εφαρμοστά διανύσματα. Διακρίνετε πότε δύο διανύσματα είναι ίσα, όπως \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}\) (ισοδύναμα και έχουν κοινό σημείο εφαρμογής) και πότε είναι απλώς ισοδύναμα, όπως \(\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{DC}\). Οι πράξεις ορίζονται μόνο για διανύσματα με το ίδιο σημείο εφαρμογής, ενώ για να συγκρίνουμε διανύσματα με διαφορετικό σημείο εφαρμογής χρησιμοποιούμε την έννοια της ισοδυναμίας μέσω παράλληλης μεταφοράς.

1. Δίδεται παραλληλόγραμμο \(OΒCD\), και σημεία \(E,\, F\) τέτοια ώστε \(\overrightarrow{OE} = a\; \overrightarrow{OB}\) και \(\overrightarrow{OF} = b \;\overrightarrow{OD}\), με \(b \neq 1\). Δείξτε οτι τα σημεία \(E,\, C,\, F\) είναι συγγραμμικά εάν και μόνον εάν
\[a =  \frac{b}{b-1}\,.\]

(Παρατήρηση: Σχεδιάστε κατάλληλο σχήμα. Τα σημεία \(E,\, C,\, F\) είναι συγγραμμικά εάν \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CF}\).)


2. Δίδονται σημεία \(O\), \(A\) και \(B\) στο επίπεδο. Δείξτε οτι το σημείο \(C\) βρίσκεται στην ευθεία \(AB\) εάν και μόνον εάν υπάρχει πραγματικός αριθμός \(t\) τέτοιος ώστε
\[\begin{eqnarray*}
 \overrightarrow{OC} &=& (1-t)\,\overrightarrow{OA} + t\,\overrightarrow{OB} \\
 &=& \overrightarrow{OA} + t \,(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})\,.
\end{eqnarray*} \]

3. Έστω \(ABCD\) παραλληλόγραμμο, \(Ε\) σημείο επί της πλευράς \(AB\) και \(F\) σημείο επί της πλευράς \(CD\) τέτοια ώστε \(\overrightarrow{AE} \sim
\overrightarrow{FC}\). Έστω, επίσης σημείο \(G\) επί της πλευράς \(AD\) και \(H\) σημείο επί της \(BC\), τέτοια ώστε \(\overrightarrow{AG} \sim \overrightarrow{HC}\). Αποδείξτε οτι το \(EGFH\) είναι παραλληλόγραμμο.

(Παρατήρηση: Προσπαθήστε να χρησιμοποιήστε τον ορισμό του παραλληλογράμμου και της ισοδυναμίας διανυσμάτων όπως έχουν παρουσιαστεί στις διαλέξεις.)

4. Έστω \((O,\,\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v})\) σύστημα αναφοράς, και διανύσματα \(\overrightarrow{w}\) και \(\overrightarrow{z}\), με συντεταγμένες ως προς το \((O,\,\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v})\), \((a,\,b)\) και \((c,\,d)\) αντίστοιχα. Δείξτε οτι \(\overrightarrow{w} \parallel \overrightarrow{z}\) εάν και μόνον εάν \(a/b = c/d\).

5. Δίδεται σύστημα αναφοράς \((O,\,\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v})\), και σημεία \(A\) και \(B\) με συντεταγμένες ως προς το \((O,\,\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v})\), \((2,-1)\) και \((4,1)\) αντίστοιχα. Έστω \(C\) σημείο στην ευθεία \(AB\)\), τέτοιο ώστε \((ABC)=\frac{(\overrightarrow{AC})}{(\overrightarrow{CΒ})}=\frac{3}{5}\). Υπολογίστε τις συντεταγμένες του \(C\).

Τελευταία τροποποίηση: Παρασκευή, 3 Ιουλίου 2015, 6:42 PM