1. Εάν ένας \(3 \times 3\) πίνακας \(B\) έχει ορίζουσα \(\det B=-1\), βρείτε τις ορίζουσες \(\det(\frac{1}{2} B)\), \(\det(-B)\), \(\det(B^2)\) και \(\det(B^{-1})\).

2. Πως συνδέονται οι \(\det(2A)\), \(\det(-A)\) και \(\det(A^2)\) με την \(\det A\), όταν \(A\) είναι πίνακας \(n \times n\);

3. Χρησιμοποιήστε απαλοιφή, ή γενικότερα πράξεις μεταξύ των γραμμών, για να φέρετε τους πίνακες
\[ A= \left[\begin{array}{rrrr}1&2&-2&0\\2&3&-4&1\\-1&-2&0&2\\0&2&5&3\end{array}\right]\mbox{ και } B=\left[\begin{array}{rrrr}2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{array}\right]\]
σε άνω τριγωνική μορφή και να υπολογίσετε την ορίζουσα τους.
Εναλλάξτε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή του πίνακα \(B\), και επαναλάβετε τη διαδικασία.

4. Χρησιμοποιήστε απαλοιφή για να υπολογίσετε τις ορίζουσες
\[\left| \begin{array}{cccc}101&201&301\\102&202&302\\103&203&303\end{array}\right|,\qquad \left|  \begin{array}{cccc}1&t&t^2\\t&1&t^2\\t^2&t&1\end{array} \right|\,.\]

5. Εάν \(F_n\) είναι η ορίζουσα του \(n \times n\) τριδιαγώνιου πίνακα με στοιχεία \(1,\,1,\,-1\),
\[F_n=\det \left[\begin{array}{rrrrrr}1&-1&&&\\ 1&1&-1&&\\&&\ddots&&\\&&1&1&-1\\&&&1&1\end{array}\right]\]
δείξτε οτι \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\). Η ακολουθία \(F_n\) είναι η ακολουθία Fibonacci, \(1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\ldots\).

6. Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα \(A\) αναπτύσσοντας ως προς την τέταρτη στήλη:
\[ A = \left[ \begin{array}{rrrr} 2&0&1&-5\\ 8&-1&2&1\\ 4&-3&-5&0\\ 1&4&8&2 \end{array} \right] \,.\]

7. Βρείτε τους συμπαράγοντες κάθε συνιστώσας του πίνακα \(B\), τον πίνακα συμπαραγόντων του \(B\) και τον συζυγή πίνακα \(\mathrm{adj}\, B\). Κατόπιν πολλαπλασιάστε τον \(\mathrm{adj}\; B\) με τον αρχικό πίνακα. Τι παρατηρείτε;
\[B=\left[\begin{array}{cccc}1&2&3\\4&5&6\\7&0&0\end{array}\right].\]

8.  Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα
\[
A= \left[ \begin{array}{ccc} 3-\lambda & 2&-2 \\ -3&-1-\lambda
&3\\ 1&2&-\lambda \end{array}\right]\,.
\]
Γιά ποιές τιμές του \(\lambda \) είναι ο πίνακας \(Α\) αντιστρέψιμος;
Για τις τιμές του \(\lambda \) για τις οποίες ο πίνακας \(Α\) δεν είναι αντιστρέψιμος, βρείτε μία βάση του μηδενόχωρου του πίνακα.


Τελευταία τροποποίηση: Σάββατο, 4 Ιουλίου 2015, 6:18 AM