Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

1. Δίνεται ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) στο χώρο. Αποδείξτε οτι τα διανύσματα \(\vec{a}=\vec{i}\), \(\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}\), \(\vec{c}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\) είναι γραμμικά ανεξάρτητα. 

Υπόδειξη: Εάν τα διανύσματα \(\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}\) είναι γραμμικά εξαρτημένα, τότε μπορούμε να βρούμε αριθμούς \(r,\,s,\,t\) που να μην είναι όλοι μηδέν, τέτοιους ώστε \(r\vec a +s\vec b + t\vec c = \vec 0\).

2. Βρείτε το εξωτερικό γινόμενο \(\vec{v} \times \vec{u}\)  των

διανυσμάτων \(\vec{v}=(1,\, 2, \,1),\, \vec{u}=(3,\, 1,\, 2)\). Εξετάστε αν τα διανύσματα \(\vec{v},\, \vec{u}\) και \(\vec{w}=(4,\, 5,\, 0)\)  είναι συνεπίπεδα.

3. Για την πράξη του πολλαπλασιασμού αριθμών, γνωρίζουμε ότι εαν \(x\not=0\) τότε \[ xy=xz \quad\Rightarrow \quad y=z  \]

Ισχύει το ανάλογο αποτέλεσμα για την πράξη του εξωτερικού γινομένου; Με άλλα λόγια ισχύει ότι αν \(\vec x,\vec y, \vec z\) είναι κάθετα διανύσματα στον χώρο με \(\vec x\not=\vec 0\), τότε

\[\vec x \times \vec y = \vec x \times \vec z \quad \Rightarrow  \quad\vec y = \vec z \mbox{?}\]

Υπόδειξη:

Θεωρήστε την εξίσωση \(\vec x \times (\vec y - \vec z)=\vec 0\).

4.  Έστω ορθοκανονικό σύστημα του χώρου \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\). Να βρεθεί ένα άλλο σύστημα του χώρου \((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\), με \(\vec a=\vec i+\vec j+2\vec k\), τέτοιο ώστε τα διανύσματα \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) να είναι ορθογώνια ανά δύο.

5. Για το εξωτερικό γινόμενο δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: \(\vec x \times (\vec y \times \vec z) \) δεν είναι πάντα ίσο με \((\vec x \times \vec y )\times \vec z \). Υπάρχει όμως μία άλλη σχέση, η ταυτότητα \(\tln{Jacobi}\).

Δείξτε ότι για τα κάθετα διανύσματα \(\vec x,\vec y, \vec z\) στο χώρο, \[\vec x \times (\vec y \times \vec z)+\vec z \times (\vec x \times \vec y)+\vec y \times (\vec z \times \vec x) = \vec 0.\]