Φυλλάδιο Ασκήσεων 7

1. Αληθές ή ψευδές? Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

(1) Εάν η πρώτη και η τρίτη στήλη του πίνακα $A$ είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την πρώτη και την τρίτη στήλη του πίνακα $AB$.

(2) Εάν η πρώτη και η τρίτη στήλη του πίνακα $B$ είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την πρώτη και την τρίτη στήλη του πίνακα $AB$.

(3) Εάν η πρώτη και η τρίτη γραμμή του πίνακα $A$ είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την πρώτη και την τρίτη γραμμή του πίνακα $AB$.

(4) Εάν η πρώτη και η τρίτη γραμμή του πίνακα $B$ είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την πρώτη και την τρίτη γραμμή του πίνακα $AB$.

2. Βρείτε τις τιμές των \(a\) και \(b\) για τις οποίες το παρακάτω σύστημα

(1) δεν έχει λύση

(2) έχει άπειρες λύσεις

(3) έχει μόνον μια λύση.

Υπολογίστε τη λύση στην περίπτωση  \(\grn{3}\) \(\left[ \begin{array}{rrr}2 & 2 & 1 \\a & 0 & 1 \\1 & -2 & 2 \\ \end{array}\right] \) 

\(\left[\begin{array}{c}x \\y \\z \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\b \\3 \\ \end{array}\right]\)

3. Εφαρμόστε την απαλοιφή \(\tln{Gauss}\) για να βρείτε, εάν υπάρχουν, τους \(n\) οδηγούς στους ακόλουθους πίνακες.

\((\grn{1})\) \(\left[\begin{array}{rrr}1 &  1 & 1 \\1 &  3 & 2 \\-2& 0 & 2 \end{array}\right]\),\(\quad(\grn{2}) \,\,\left[\begin{array}{rrrr}0 &  0 & 3 & 0 \\1 &  1 & 1 & 0\\-1& 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]\),\(\quad(\grn{3}) \,\) \(\left[\begin{array}{rrrrr}1 &  1 & 1 & 1&1\\2 &  4 & 3 &1&1\\3 & -1 & 1&0&0\\1&1&1&0&0\\1&3&0&0&1\end{array}\right]\)

4. Περιγράψτε τον αλγόριθμο απαλοιφής \tln{Gauss} για ένα \(3\times 3\) πίνακα. Εάν θέλετε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μορφή ενός διαγράμματος ροής.

Ο αλγόριθμος πρέπει να ξεκινάει διαβάζοντας έναν \(3\times 3\) πίνακα, και να σταματάει όταν έχει βρεί την άνω τριγωνική μορφή και τους τρεις οδηγούς, οπότε θα απαντάει "ο πίνακας είναι μη ιδιόμορφος” ή όταν έχει αποτύχει να βρεί κάποιον οδηγό, οπότε θα δίδει την απάντηση "ο πίνακας είναι ιδιόμορφος”. 

Χρησιμοποιήστε το συμβολισμό \(a_{ij}\) για το στοιχείο στη γραμμή \(i\) και στη στήλη \(j\) του πίνακα, η τιμή του οποίου μπορεί να αλλάζει κατά την εφαρμογή του αλγορίθμου.

Ο αλγόριθμος μπορεί να εκτελεί εντολές όπως 

• "έλεγξε εάν ο αριθμός \(a_{ij}\) είναι μηδέν”
• "υπολόγισε το πηλίκο δύο αριθμών”
• αφαίρεσε \(\lambda (a_{k1},\,a_{k2},\,a_{k3})\) από τη γραμμή \((a_{i1},\,a_{i2},\,a_{i3})\).
• κάνε εναλλαγή της γραμμής \((a_{i1},\,a_{i2},\,a_{i3})\) με τη γραμμή \((a_{k1},\,a_{k2},\,a_{k3})\)

Τα πρώτα βήματα του αλγορίθμου μπορεί να είναι:

1. Διάβασε τον πίνακα \((a_{ij})\).
2. Έλεγξε εάν \(a_{11}=0\).

1. Εάν όχι, πήγαινε στο (3).
2. Εάν ναι, έλεγξε εάν \(a_{21} = 0\).
1. Εάν όχι, κάνε εναλλαγή της γραμμής \((a_{21},\,a_{22},\,a_{23})\) με τη γραμμή \((a_{11},\,a_{12},\,a_{13})\), και πήγαινε στο (3).
2. Εάν ναι, έλεγξε εάν \(a_{31} = 0\).
1. Εάν όχι, κάνε εναλλαγή της γραμμής \((a_{31},\,a_{32},\,a_{33})\) με τη γραμμή \((a_{11},\,a_{12},\,a_{13})\), και πήγαινε στο (3).
2. Εάν ναι, πήγαινε στο (*).
1. Υπολόγισε \(\lambda = a_{21}/a_{11}\).
2. Αφαίρεσε \(\lambda (a_{11},\,a_{12},\,a_{13})\) από τη γραμμή \((a_{21},\,a_{22},\,a_{23})\).
3. \(\ldots\)
4. \(\ldots\)
5. Γράψε "ο πίνακας είναι ιδιόμορφος” και σταμάτησε.