1. Εάν ο αντίστροφος του \(A^2\) είναι \(B\), δείξτε οτι ο αντίστροφος του \(A\) είναι \(AB\). (Αυτό σημαίνει οτι ο \(A\) είναι αντιστρέψιμος όταν ο \(A^2\) είναι αντιστρέψιμος).




2. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan για να βρείτε τους αντίστροφους των παρακάτω πινάκων, εάν υπάρχουν

\(\left[ \begin{array}{rrr}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3 \end{array} \right] \quad , \quad \left[ \begin{array}{rrr}2&0&4\\-1&3&1\\0&1&2 \end{array} \right] \quad , \quad \left[ \begin{array}{rrr}1&2&-1\\3&-1&0\\2&-3&1 \end{array} \right]\)




3. Βρείτε τον αντίστροφο του \(A=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\\frac{1}{4}&1&0&0\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3} &1&0\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1 \end{array}\right].\)



4. Συμπληρώστε τα \(*\) στους ακόλουθους πίνακες, έτσι ώστε να είναι συμμετρικοί: \(\left[ \begin{array}{rrr} 1&2&4\\ {*}&6&*\\ 4&5&2\end{array} \right] \quad , \quad\left[ \begin{array}{rrrr} -3&*&8&9\\ -4&7&*&7\\ {*}&2&6&4\\ {*}&7&*&9 \end{array} \right] \,.\)


5. Δίδονται πίνακες \(A\) σχήματος \(4 \times 1\), \(B\) σχήματος \(2 \times 3\), \(C\) σχήματος \(2 \times 4\) και \(D\) σχήματος \(1 \times 3\). Ποιοί από τους ακόλουθους πίνακες ορίζονται, και τί σχήμα έχουν;

α. \( ADB^T\)

β. \(C^TB - 5AD\)

γ. \(4CA - (CA)^2\)

δ. \( (ADB^TC)^2 - I_4\)


6. Βρείτε τον κλιμακωτό πίνακα \(U\), και τους πίνακες \(P\) και \(L\) έτσι ώστε \(PA=LU\), για τους ακόλουθους πίνακες:

α. \(A =\left[\begin{array}{cccc}0&1&0&3 \\ 0&2&0&6 \end{array}\right]\)
β. \(A =\left[\begin{array}{ccc}1&2&2 \\ 2&4&5 \end{array}\right]\)
γ. \(A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&2 \\ 2&4&4 \end{array}\right]\)
δ. \(A =\left[\begin{array}{cccc}1&2&0&1 \\ 0&1&1&0\\1&2&0&1\end{array}\right]\)
ε. \(A=\left[\begin{array}{cc}0&0 \\ 1&2\\0&0\\3&6 \end{array}\right]\)



Last modified: Wednesday, 22 July 2015, 6:44 PM