Δραστηριότητες

1. Δίδεται η εξίσωση

\[   \left[ \begin{array}{rrrrr} 1&2&3&1&0\\0&1&2&0&1\\0&0&1&0&0 \end{array} \right]\, \left[ \begin{array}{c} u\\v\\w\\y\\z\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array} \right]\,. \]

Ποιοί είναι οι οδηγοί;

Πόσες είναι οι ελεύθερες μεταβλητές;

Βρείτε τη λύση για την οποία \(y=0\) και \(z=1\).

Βρείτε τη λύση για την οποία \(y=1\) και \(z=0\).

Είναι το άθροισμα των δύο λύσεων που βρήκατε επίσης λύση της εξίσωσης;

Βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης.

2.  Δίδεται η εξίσωση

\[   \left[ \begin{array}{rrrrr} 1&2&3&1&0\\0&1&2&0&1\\0&0&1&0&0 \end{array} \right]\, \left[ \begin{array}{c} u\\v\\w\\y\\z\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 2\\0\\-1\end{array} \right]\,. \]

Βρείτε τη λύση για την οποία \(y=0\) και \(z=0\).

Βρείτε τη λύση για την οποία \(y=1\) και \(z=-1\).

Είναι το άθροισμα των δύο λύσεων που βρήκατε επίσης λύση της εξίσωσης;

Βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης.

3. Βρείτε τιμή του \(b\) τέτοια ώστε η εξίσωση να έχει λύσεις, και υπολογίστε τη γενική λύση.

\[  \left[ \begin{array}{rrr} 1&2&3\\0&1&2\\1&3&5 \end{array} \right]\, \left[ \begin{array}{c} u\\v\\w \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{r} 4\\3\\b \end{array} \right]\,.\]