Φυλλάδιο Ασκήσεων 9
1. Δίδονται οι πίνακες \(A_1 =\left[\begin{array}{cccc}0&1&0&3 \\ 0&2&0&6 \end{array}\right]\,,\qquad A_2 =\left[\begin{array}{ccc}1&2&2 \\ 2&4&5 \end{array}\right]\,,\)
\(A_3=\left[\begin{array}{ccc}1&2&2 \\ 2&4&4 \end{array}\right]\,,\qquad A_4 =\left[\begin{array}{cccc}1&2&0&1 \\ 0&1&1&0\\1&2&0&1\end{array}\right]\,,\)
\(A_5=\left[\begin{array}{cc}0&0 \\ 1&2\\0&0\\3&6 \end{array}\right]\,.\)
Για κάθε πίνακα \(A_i\),
- Βρείτε τις λύσεις της ομογενούς εξίσωσης \(A_i x=0\).
- Βρείτε την τάξη του πίνακα \(A_i\).
- Βρείτε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι συνιστώσες \(b_j\) του διανύσματος \(b\) ώστε να έχει λύση η εξίσωση \(A_i x = b\).
- Σε κάθε περίπτωση, επιλέξτε ένα μη μηδενικό διάνυσμα \(b\) που ικανοποιεί αυτές τις συνθήκες, και βρείτε όλες τις λύσεις του συστήματος.
2. Ποιά συνθήκη στα \(b_1,\,b_2,\,b_3\) καθιστά το σύστημα επιλύσιμο; Ξεκινήστε με τον επαυξημένο πίνακα \([Α\, \vdots\, b]\), και βρείτε όλες τις λύσεις όταν ικανοποιείται η συνθήκη. \(\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&-&2z&=&b_1\\2x&+&5y&-&4z&=&b_2\\4x&+&9y&-&8z&=&b_3\end{array}\)
3. Εάν η εξίσωση \(Ax=b\) έχει δύο διαφορετικές λύσεις \(x_1\) και \(x_2\), βρείτε δύο διαφορετικές λύσεις της \(Ax=0\). Στη συνέχεια βρείτε άλλη μία λύση της \(Ax=b\).
4. Γράψτε όλες τις σχέσεις που μπορείτε να συμπεράνετε για τα \(r,\,m\) και \(n\), εάν γνωρίζετε οτι ο \(m \times n\) πίνακας \(A\) έχει τάξη \(r\), και για την εξίσωση \(Ax=b\) ισχύει:
- υπάρχουν κάποια \(b\) για τα οποία δεν έχει λύση.
- για κάθε \(b\) έχει άπειρες λύσεις.
- υπάρχει ακριβώς μία λύση για κάποια \(b\), καμία λύση για κάποια άλλα \(b\).
- ακριβώς μία λύση για κάθε \(b\).
5. Βρείτε έναν \(2 \times 2\) πίνακα του οποίου ο μηδενοχώρος είναι ίσος με το χώρο στηλών.
6. Βρείτε έναν πίνακα του οποίου ο μηδενοχώρος αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων \((2,\,2,\,1,\,0)\) και \((3,\,1,\,0,\,1)\).
7. Θεωρήστε τον κλιμακωτό πίνακα \(U= \left[\begin{array}{cccc}1&3&3&2 \\ 0&0&3&1\\0&0&0&0 \end{array}\right].\)
Μπορούμε να συνεχίσουμε την απαλοιφή προς τα πάνω, ώστε να
μηδενίσουμε τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από τους οδηγούς, και στη συνέχεια να διαιρέσουμε κάθε μη μηδενική γραμμή με τον αντίστοιχο οδηγό, ώστε να έχουμε 1 στη θέση των οδηγών. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα καταλήγουμε στον πίνακα
\(R=\left[\begin{array}{cccc}1&3&0&1 \\ 0&0&1&1/3\\0&0&0&0 \end{array}\right]\)
Αυτός ο πίνακας έχει \emph{ανηγμένη κλιμακωτή μορφή}, και είναι ο απλούστερος πίνακας που προκύπτει με απαλοιφή από τον \(A\). Παρατηρήστε οτι από αυτόν τον πίνακα μπορείτε να "διαβάσετε” τις λύσεις της ομογενούς εξίσωσης, \((-3,\,1,\,0,\,0)\), \((-1,\,0,\,-1/3,\,1)\), χωρίς να κάνετε άλλους υπολογισμούς. (Δείτε τον \tln{Strang} για λεπτομέρειες.)
Βρείτε τους πίνακες \(R\) σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή που
αντιστοιχούν στους ακόλουθους πίνακες, και γράψτε τις λύσεις των αντίστοιχων ομογενών εξισώσεων:
\(\left[\begin{array}{cc} 1&2\\ 3&4\end{array}\right]\,,\qquad \left[\begin{array}{cc} 1&2\\ 2&4\end{array}\right]\,,\qquad\left[\begin{array}{cccc} 1&2&3&5\\ 2&4&8&12\\ 3&6&7&13\end{array}\right]\,.\)