Φυλλάδιο Ασκήσεων 10
1. Θεωρούμε τα διανύσματα του \(\R^4\) \(v_1 = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1\\ 0 \\1 \end{array} \right],\quad v_2= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \\0 \end{array}\right],\quad v_3= \left[ \begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \\-1 \end{array} \right],\quad v_4= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 1 \\1 \end{array} \right], \quad w = \left[ \begin{array}{r} 4 \\ 1 \\ 2 \\1 \end{array} \right].\)
- Εξετάστε αν τα διανύσματα \(v_1,\, v_2,\, v_3,\, v_4\) είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
- Εξετάστε αν το διάνυσμα \(w\) ανήκει στον διανυσματικό υπόχωρο \(V= \left\langle v_1,\, v_2,\, v_3,\,v_4\right\rangle \subseteq \R^4\).
2. Βρείτε μία βάση για το επίπεδο \(x-2y+3z=0\) στο \(\R^3\). Στη συνέχεια βρείτε μία βάση για την τομή αυτού του επιπέδου με το \((x,\, y)\) -επίπεδο. Τέλος βρείτε μία βάση για τον υπόχωρο των διανυσμάτων που είναι κάθετα στο αρχικό επίπεδο.
3. Βρείτε τη διάσταση, και κατασκευάστε μια βάση των τεσσάρων υποχώρων που σχετίζονται με κάθε ένα από τους πίνακες \(A = \left[ \begin{array}{rrrr}0&1&4&0 \\0&2&8&0 \end{array} \right] \quad ,\quad U= \left[ \begin{array}{rrrr}0&1&4&0 \\0&0&0&0 \end{array} \right] \,.\)
4. Θεωρούμε τον πίνακα \(A= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2& 0 & 1 \\1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{array} \right].\) Βρείτε βάσεις για το χώρο στηλων \({\mathcal R}(A)\), το χώρο γραμμών \({\mathcal R}(A^T)\), το μηδενόχωρο \({\mathcal N}(A)\) και τον αριστερό μηδενόχωρο \(\mathcal N (A^T)\).
5. Βρείτε τον πίνακα \(Α\) στον οποίο αντιστοιχεί η γραμμική απεικόνιση \(f(x,y) = (3x+y,\, 2y,\, x-y)\,.\)
6. Ποίες από τις ακόλουθες απεικονίσεις δεν είναι γραμμικές, όπου \(v=(v_1,\,v_2)\);
\(\begin{array}{ll}\grn{1})\quad g(v)=(v_2,\,v_1)\,,\quad &\grn{2})\quad g(v)=(0,\,v_1)\\ \grn{3})\quad g(v)=(v_1,\,v_1)\,,\quad &\grn{4})\quad g(v)=(0,\,1) \end{array}\)
7. Υποθέτουμε οτι \(S\) είναι υπόχωρος του \(\R^6\), διάστασης 5. Είναι τα ακόλουθα αληθή ή ψευδή;
- \item Κάθε βάση του \(S\) μπορεί να επεκταθεί σε μία βάση του \(\R^6\), προσθέτοντας ένα ακόμη διάνυσμα.
- Κάθε βάση του \(\R^6\) μπορεί να περιοριστεί σε μία βάση του \(S\), διαγράφοντας ένα διάνυσμα.
8. Οι στήλες του \(A\) είναι \(n\) διανύσματα του \(\R^m\). Ποιά είναι η τάξη του \(A\) εάν τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ποιά εάν τα διανύσματα παράγουν τον \(\R^m\). Ποιά εάν τα διανύσματα αποτελουν βάση του \(\R^m\)
9. Γιατί δεν υπάρχει πίνακας \(A\) τέτοιος ώστε το διάνυσμα \((1,\,1,\,1)\) να περιέχεται στο χώρο γραμμών και στο μηδενοχώρο του \(A\);
10. Εάν το γινόμενο \(AB\) είναι ο μηδενικός πίνακας, \(AB=0\), δείξτε οτι ο χώρος στηλών του πίνακα \(B\) περιέχεται στο μηδενοχώρο του \(A\). Δείξτε επίσης οτι ο χώρος γραμμών του \(A\) περιέχεται στον αριστερό μηδενοχώρο του \(B\)
11. Εάν εναλλάξετε τις δύο πρώτες γραμμές του πίνακα \(A\), ποιοί από τους τέσσερεις υπόχωρους δεν αλλάζουν? Εάν \(y=(1,\,2,\,3,\,4)\) είναι στοιχείο στον αριστερό μηδενοχώρο του \(A\), βρείτε ένα διάνυσμα στον αριστερό μηδενοχώρο του νέου πίνακα.
12. Ο πίνακας \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}2&0\\ 0&1\end{array}\right]\) παριστάνει μία \bem{διαστολή} στη διεύθυνση του \(x-\)άξονα. Σχεδιάστε τον κύκλο \(x^2+y^2=1\), και γύρω του σημεία \((2x,\,y)\) που προκύπτουν από πολλαπλασιασμό με τον πίνακα \(A\). Τι σχήμα έχει η καμπύλη που προκύπτει;
13. Ποίος πίνακας παριστάνει την απεικόνιση που περιστρέφει κάθε διάνυσμα του \(\R^2\) κατά μία ορθή, και στη συνέχεια προβάλλει πάνω στον \(x-\)άξονα? Ποιός πίνακας παριστάνει την απεικόνιση που προβάλλει στον \(x-\)άξονα και στη συνέχεια προβάλλει πάνω στον \(y-\)άξονα;
14. Ο πίνακας \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}1&0\\ 3&1\end{array}\right]\) παριστάνει μία απεικόνιση (\bem{στρέβλωσης}\), η οποία αφήνει τον \(y-\)άξονα αμετάβλητο. Σχεδιάστε το αποτέλεσμα αυτής της απεικόνισης στον \(x-\)άξονα, σημειώνοντας την εικόνα των σημείων \((1,\,0),\, (2,\,0)\) και \((-1,\,0)\), καθώς και την εικόνα όλου του \(x-\)άξονα.