Περιγραφή του μαθήματος

Περιγραφή μαθήματος:

Το μάθημα διδάσκεται στο πρώτο εξάμηνο και αποτελείται από μία εισαγωγή στη Διανυσματική Γεωμετρία στο επίπεδο και το χώρο και μία εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα στο \(\mathbf{R}^n\).

Στο πρώτο μέρος η έμφαση είναι στη χρήση διανυσματικών μεθόδων στη μελέτη ευθειών και επιπέδων στο χώρο.

Στο δεύτερο μέρος γίνεται συστηματική χρήση της απαλοιφής Gauss, όχι μόνο για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, αλλά και για τη μελέτη υποχώρων του \(\mathbf{R}^n\) και τη μελέτη της γραμμικής απεικόνισης που συνδέεται με ένα πίνακα.

Στόχοι του μαθήματος:

Στόχος του πρώτου μέρους του μαθήματος είναι η εξοικείωση με τη χρήση διανυσματικών και αναλυτικών μεθόδων για τη μελέτη γεωμετρικών αντικειμένων.

Στόχος του δεύτερου μέρους του μαθήματος είναι η εξοικείωση με υπολογιστικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων και η χρήση τους στη μελέτη των διανυσματικών χώρων \(\mathbf{R}^n\), των υποχώρων τους και των γραμμικών απεικονίσεων μεταξύ τους.

Περιεχόμενα μαθήματος:

Διανυσματική Γεωμετρία

Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο και το χώρο. Ορισμοί. Πράξεις. Παράλληλη μεταφορά, ελεύθερα διανύσματα.

Σύστημα αναφοράς. Συντεταγμένες ως προς ορθογώνιο σύστημα αναφοράς. Αλλαγή συστήματος αναφοράς.

Ευθείες στο επίπεδο. Αναλυτική και παραμετρική περιγραφή.

Ευθείες και επίπεδα στο χώρο. Αναλυτική και παραμετρική περιγραφή. Σχετικές θέσεις επιπέδων και ευθειών στο χώρο.

Γραμμική Άλγεβρα

Αριθμητικά διανύσματα στο \(\mathbf{R}^n\) (n-άδες πραγματικών αριθμών). Πίνακες. Πράξεις με διανύσματα και πίνακες. Γραμμικοί συνδυασμοί.

Επίλυση συστήματος με απαλοιφή Gauss και ανάδρομη αντικατάσταση. Έκφραση της απαλοιφής Gauss ως παραγοντοποίηση πινάκων.

Αντίστροφοι πίνακες, διαδικασία Gauss-Jordan. Ανάστροφοι πίνακες.

Γραμμικοί υπόχωροι του \(\mathbf{R}^n\). Χώρος στηλών και μηδενόχωρος ενός πίνακα.

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία. Βάση, διάσταση ενός υπόχωρου. Υπολογισμός βάσεων υποχώρων.

Ορίζουσα, ιδιότητες, μοναδικότητα. Υπολογισμός της ορίζουσας. Εφαρμογές.

Ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, ιδιόχωροι πίνακα.

Αναμενόμενα μαθησιακά αποτελέσματα:

Εξοικείωση με τη χρήση διανυσματικών και αναλυτικών μεθόδων για τη μελέτη γεωμετρικών αντικειμένων. Δεξιότητα στη χρήση γεωμετρικών διανυσμάτων για τη μελέτη ευθειών και επιπέδων στο χώρο.

Εξοικείωση με τη μέθοδο της απαλοιφής Gauss και δεξιότητα στη χρήση της για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, τη μελέτη διανυσματικών υποχώρων του \(\mathbf{R}^n\) και γραμμικών απεικονίσεων μεταξύ τους. Κατανόηση της έννοιας της γραμμικής ανεξαρτησίας στο \(\mathbf{R}^n\). Δεξιότητα στον υπολογισμό ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων.

Εκπαιδευτικό υλικό:

Σημειώσεις

Βιντεοσκοπημένες διαλέξεις

Διαφάνειες

Δραστηριότητες κατανόησης

Περιγραφή αναμενόμενων μαθησιακών αποτελεσμάτων

Φυλλάδια προβλημάτων