Weekly outline

  • ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

    Collapse all Expand all

  • 1. To εξωτερικό μέτρο Lebsgue

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Μήκος Διαστήματος.
    • Εξωτερικό μέτρο Lebesgue και ιδιότητες.
    • Εξωτερικό μέτρο Lebesgue και μήκος διαστήματος.
    • Υποπροσθετικότητα του εξωτερικού μέτρου Lebesgue.

    Λέξεις κλειδιά:

    Εξωτερικό μέτρο Lebesgue, μήκος διαστήματος, υποπροσθετικότητα, μήκος διαστήματος,

  • 2. Μετρήσιμα σύνολα

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ορισμός σ-άλγεβρας και παραδείγματα.
    • Οικογένεια των συνόλων Borel.
    • Ορισμός μετρήσιμων συνόλων. Το μέτρο Lebesgue.
    • Σύνολα Borel και μετρησιμότητα.

    Λέξεις κλειδία:

    σ-άλγεβρα, σύνολα Borel, μετρήσιμα σύνολα, μέτρο Lebesque.

  • 3. Ιδιότητες τού μέτρου Lebesgue.

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Η οικογένεια των μετρήσιμων συνόλων είναι σ-άλγεβρα.
    • Το μέτρο Lebesgue είναι προσθετικό.

    Λέξεις κλειδιά:

    Προσθετικότητα.

  • 4. Ιδιότητες τού μέτρου Lebesgue (συνέχεια).

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Προσέγγιση μετρήσιμων συνόλων από απλούστερα σύνολα (Βorel, ανοιχτά, κλειστά, διαστήματα).

    Λέξεις κλειδιά:

    Προσέγγιση.

  • 5. Ασκήσεις.

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ασκήσεις.

  • 6. Ασκήσεις (συνέχεια).

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ασκήσεις.

  • 7. Μετρήσιμες συναρτήσεις.

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ορισμός τής μετρήσιμης συνάρτησης.
    • Ισοδύναμοι χαρακτηρισμοί.
    • Βασικές ιδιότητες τής οικογένειας των μετρήσιμων συναρτήσεων.

    Λέξεις κλειδιά:

    Μετρήσιμη συνάρτηση.

  • 8. Μετρήσιμες συναρτήσεις (συνέχεια). Το σύνολο Cantor.

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ιδιότητες μετρήσιμων συναρτήσεων (συνέχεια).

    • Κατασκευή τού συνόλου Cantor.

    Λέξεις κλειδιά:

    Μετρήσιμη συνάρτηση, σύνολο Cantor.

  • 9. Το σύνολο Cantor (συνέχεια). Μη μετρήσιμα σύνολα.

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ιδιότητες τού συνόλου Cantor.

    • Διατύπωση τού θεωρήματος Steinhaus.

    • Ύπαρξη μη μετρήσιμων συνόλων.

    Λέξεις κλειδιά:

    Σύνολο Cantor, μη μετρήσιμα σύνολα.

  • 10. Το θεώρημα Steinhaus. Το ολοκλήρωμα απλών συναρτήσεων.

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Απόδειξη τού θεωρήματος Steinhaus.
    • Εφαρμογή στη συναρτησιακή εξίσωση τού Cauchy.
    • Απλές συναρτήσεις και το ολοκλήρωμά τους.

    Λέξεις κλειδιά:

    Θεώρημα Steinhaus, απλές συναρτήσεις.

  • 11. Το ολοκλήρωμα Lebesgue μη αρνητικών συναρτήσεων.

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων από απλές συναρτήσεις.
    • Ορισμός τού ολοκληρώματος Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις μέσω απλών συναρτήσεων.

    Λέξεις κλειδία:

    Απλές συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue.

  • 12. Το ολοκλήρωμα Lebesgue μη αρνητικών συναρτήσεων (συνέχεια).

    Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Βασικές ιδιότητες τού ολοκληρώματος,
    • Το λήμμα Fatou.

    Λέξεις κλειδία:

    Ολοκλήρωμα Lebesgue, λήμμα Fatou.

  • 13. Ολοκλήρωμα και σύγκλιση.

     Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Το λήμμα Fatou (συνέχεια).
    • Το θεώρημα μονότονης σύγκλισης.
    • Το θεώρημα Beppo Levi.
    • Ασκήσεις.

    Λέξεις κλειδιά:

    Λήμμα Fatou, μονότονη  σύγκλιση, θεώρημα Beppo Levi.

  • 14. Ασκήσεις (συνέχεια). Το γενικό ολοκλήρωμα Lebesgue.

     Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ασκήσεις (συνέχεια).
    • Ολοκληρώσιμες συναρτήσεις.
    • Το γενικό ολοκλήρωμα Lebesgue.
    • Βασικές ιδιότητες των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.
    • Το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης.

    Λέξεις κλειδιά:

    Ολοκληρώσιμη συνάρτηση, θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης.

  • 15. Εφαρμογές και ασκήσεις πάνω στο ολοκλήρωμα.

     Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Το θεμελιώδες θεώρημα τού Απειροστικού Λογισμού για το ολοκλήρωμα Lebesgue.
    • Ασκήσεις.

  • 16. Ασκήσεις (συνέχεια).

     Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ασκήσεις.

  • 17. Ασκήσεις (συνέχεια). Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων.

     Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ασκήσεις πάνω στο ολοκλήρωμα (συνέχεια).
    • Σύγκλιση σχεδόν παντού και σχεδόν ομοιόμορφη σύγκλιση.
    • Σύγκλιση κατά μέτρο.
    • Σύγκλιση κατά μέση τιμή.
    • Σχέσεις μεταξύ των παραπάνω τύπων σύγκλισης.
    • Το θεώρημα Egorov.

    Λέξεις κλειδιά:

    Τύποι σύγκλισης, θεώρημα Egorov.

  • 18. Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων (συνέχεια).

     Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Ιδιότητες των διαφόρων τύπων σύγκλισης μετρήσιμων συναρτήσεων.
    • Προσέγγιση από απλές συναρτήσεις.

    Λέξεις κλειδιά:

    Τύποι σύγκλισης.

  • 19. Προσέγγιση ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.

     Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Προσέγγιση ολοκληρώσιμων συναρτήσεων από απλές, κλιμακωτές και συνεχείς συναρτήσεις.
    • Το θεώρημα Lusin.

    Λέξεις κλειδιά:

    Προσέγγιση, θεώρημα Lusin.

  • 20. H μεγιστική συνάρτηση των Hardy και Littlewood.

     Περιεχόμενα διάλεξης:

    • Μέση τιμή συνάρτησης.
    • Ορισμός τής μεγιστικής συνάρτησης και απόδειξη τής μετρησιμότητάς της,
    • Η weak-type ανισότητα.
    • Η μέση τιμή μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης συγκλίνει σχεδόν παντού στη συνάρτηση.

    Λέξεις κλειδία:

    Μεγιστική συνάρτηση, weak-type ανισότητα.