Περιεχόμενα διάλεξης (2/4/2014)

Ορισμός, κανονικής επέκτασης

Πρόταση: Μία πεπερασμένη επέκταση σωμάτων L/K είναι κανονική ακριβώς τότε όταν το  L  είναι σώμα ανάλυσης ενός πολυωνύμου f(X),  με συντελεστές από το Κ.

Παραδείγματα: Για κανονικές επεκτάσεις δεν ισχύει η «μεταβατικότητα».

Πόροσμα 1: Αν L/K  πεπερασμένη και κανονική και Ε ενδιάμεσο σώμα, τότε κάθε Κ-μονομορφισμός του Ε στο L  επεκτείνεται σε έναν Κ-αυτομορφισμό του L.

Πόρισμα 2: Εστω L/K  κανονική επέκταση και  p(X)     ανάγωγο υπέρ το Κ πολυώνυμο ( με συντελεστές από το Κ). Αν α,β,ανήκουν στο L . δύο ρίζες του p(X),    τότε υπάρχει πάντοτε κάποιος Κ-αυτομορφισμός σ του L  τέτοιος ώστε  σ(α)=β.

Κανονική θήκη. Ύπαρξη κανονικής θήκης και μοναδικότητα (κατά προσέγγιση ισομορφίας) αυτής.

Πρόταση:  Έστω  L/K  πεπερασμένη επέκταση σωμάτων. Υποθέτουμε ότι η L/K  είναι κανονική. Αν Ε ένα ενδιάμεσο σώμα τότε η  E/K  είναι κανονική ακριβώς τότε όταν κάθε Κ-μονομορφισμός του Ε στο  L είναι Κ-αυτομορφισμός του  L.

(χωρίς απόδειξη) . 

Διαχωρίσιμες επεκτάσεις. Ορισμοί και παραδείγματα.

Η διαχωρισιμότητα ισχύει για κάθε επέκταση σώματος χαρακτηριστικής μηδέν και  σε σώμα χαρακτηριστικής  p  για κάθε πολωώνυμο το οποίο δεν «αποτελείται»  μόνον από μονώνυμα με εκθέτες δυνάμεις του  p.