ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ
Κατανομή Poisson. Κοινή πυκνότητα και ανεξαρτησία ΤΜ:
Είδαμε κατ ́ αρχήν σήμερα τον τύπο για την πολύ σημαντική κατανομή (πυκνότη- τα) P oisson(λ). Ορίσαμε την κοινή πυκνότητα δύο ΤΜ $$X,Y: f_{X,Y}(m,n)=\mathbb{P}[X=m,Y=n]$$ (υποθέτουμε εδώ, ως συνήθως κάνουμε σε αυτό το μάθημα, ότι οι ΤΜ μας είναι ακεραιότιμες). ́Επειτα ορίσαμε την έννοια της ανεξαρτησίας δύο ΤΜ, ως την απαίτηση να ισχύει για κάθε m, n η ισότητα ( ̈χωρισμός μεταβλητών ̈): $ $f_{X,Y}(m,n)=f_{X}(m).f_{Y}(n)$$. Συνέπεια αυτού είδαμε ότι είναι ότι αν το ενδεχόμενο A εξαρτάται μόνο από την τιμή της X, το ενδεχόμενο B εξαρτάται μόνο από την τιμή της Y , και οι X,Y είναι ανεξάρτητες, τότε και τα ενδεχόμενα A, B είναι ανεξάρτητα. Αυτό είναι πολύ σημαντικό στις εφαρμογές.
́Ολα αυτά γενικεύονται και σε παραπάνω από δύο ΤΜ. Τη δεύτερη ώρα την ξο- δέψαμε λύνοντας το Πρόβλημα 4.1.11 των σημειώσεων.
Μέση τιμή μιας ΤΜ. Γραμμικότητα μέσης τιμής. Δείκτριες ΤΜ:
Ορίσαμε τη μέση τιμή μιας ΤΜ X ως το άθροισμα των τιμών που παίρνει η X πολλαπλασιασμένες η κάθε μια με την πιθανότητα που έχει να εμφανισθεί ως τιμή της $$X:\mathbb{E}[X]=\sum_{n}f_{X}(n).n$$. Το άθροισμα εκτείνεται πάνω από όλες τις δυνατές τιμές n της X , που για μας στο μάθημα αυτό είναι συνήθως οι ακέραιοι. Σε κάποιες περιπτώσεις το άθροισμα αυτό είναι άπειρη σειρά οπότε υπάρχει και το ενδεχόμενο να μη συγκλίνει (τότε λέμε ότι η X δεν έχει μέση τιμή).
Υπολογίσαμε έπειτα διάφορα παραδείγματα μέσων τιμών με τον ορισμό,μεταξύ των οποίων και η μέση τιμής της Γεωμ(π) που την υπολογίσαμε να είναι $$\frac{1}{p}$$
Είδαμε επίσης ότι μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή χωρίς να ξέρουμε την πυκνότητα της ΤΜ, αρκεί να ξέρουμε την πιθανότητα εμφάνισης p(w) κάθε στοιχείου $$w\in \Omega$$ του δειγματικού χώρου και την τιμή X(w)της ΤΜ στο σημείο αυτό: $$X:\mathbb{E}[X]=\sum_{w\in \Omega} X(w).p(w)$$. Χρησιμοποιήσαμε αυτή την τελευταία μορφή για να αποδείξουμε τη λεγόμενη γραμμικότητα της μέσης τιμής: αν X,Y είναι δύο ΤΜ πάνω στον ίδιο δειγματικό χώρο και λ,n ∈ R είναι δύο σταθερές, τότε E[λX + μY ] = λE[X] + μE[Y ] Η σημασία και η χρησιμότητα της γραμμικότητας της μέσης τιμής είναι τεράστιες. Χρησιμοποιήσαμε τέλος τη γραμμικότητα για να υπολογίσουμε διάφορες μέσες τιμές τυχαίων μεταβλητών αφού πρώτα τις γράψαμε ως άθροισμα κατάλληλων δεικτριών ΤΜ, δηλ. ΤΜ που παίρνουν μόνο τις τιμές 0 ή 1. Δείτε σχετικά τα Παραδείγματα 4.2.3 και 4.2.4 των σημειώσεων.