ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ

Ανισότητα Cauchy-Schwarz, συντελεστής συσχέτισης

Σήμερα κάναμε ξανά την απόδειξη του ασθενούς νόμου των μεγάλων αριθμών (όπως περιγράφεται στο ημερολόγιο μαθήματος της 6/12/2013). Έπειτα αποδείξαμε την ανισότητα Cauchy-Schwarz για τυχαίες μεταβλητές (αφού πρώτα είδαμε διάφορες μορφές της ανισότητας για διανύσματα ή συναρτήσεις): $$\mathbb{E}[XY]\leq \sqrt{\mathbb{E}[X^{2}]}\sqrt{\mathbb{E}[Y^{2}]}$$Έπειτα ορίσαμε το συντελεστή συσχέτισης $$\rho(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$$και είδαμε μέσω της ανισότητας Cauchy-Schwarz ότι $$-1\leq\rho(X,Y)\leq1$$ Είδαμε ότι δύο ανεξάρτητες ΤΜ είναι αναγκαστικά ασυσχέτιστες (έχουν δηλ. $$\rho=0$$ ) και είδαμε επίσης, με ένα παράδειγμα, ότι η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν είναι σωστή. Τέλος είδαμε διάφορα παραδείγματα ζευγών ΤΜ που είναι θετικά συσχετισμένες (ρ κοντά στο +1) και αρνητικά συσχετισμένες (ρ κοντά στο -1).

Δέσμευση ΤΜ ως προς ενδεχόμενα και άλλες ΤΜ

Είδαμε σήμερα την έννοια της δέσμευσης μιας ΤΜ ως προς ενδεχόμενο $$B$$ και το τι σημαίνει η μέση τιμή $$\mathbb{E}[X|B]$$ Έπειτα είδαμε το τι σημαίνει η ποσότητα $$\mathbb{E}[X|Y]$$ όπου $$X,Y$$ είναι δύο ΤΜ στον ίδιο δειγματικό χώρο. Η ποσότητα αυτή είναι επίσης ΤΜ (και όχι απλά αριθμός, όπως η αδέσμευτη μέση τιμή $$\mathbb{E}[X]$$ ) και μάλιστα είναι μια συνάρτηση της $$Y$$. Συγκεκριμένα $$\mathbb{E}[X|Y]=\phi(Y)$$ όπου η συνάρτηση $$\phi(.)$$ ορίζεται ως εξής (υποθέτουμε ότι η $$Y$$ παίρνει ακέραιες τιμές $$n$$): $$\phi(n)=\mathbb{E}[X|Y=n]$$