Περιγραφή μαθήματος:

Το μάθημα θα καλύψει τη στοιχειώδη θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης κατά Lebesque στην πραγματική ευθεία. Σκοπός τής θεωρίας μέτρου είναι η γενίκευση τής έννοιας τού μήκους σε σύνολα πιο περίπλοκα από διαστήματα. Σκοπός τής θεωρίας ολοκλήρωσης κατά Lebesque είναι η κατασκευή ενός ολοκληρώματος απαλλαγμένου από τις θεμελιώδεις αδυναμίες τού ολοκληρώματος Riemann, ιδιαίτερα, τη σχετικά μικρή κλάση ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, και την προβληματική συμπεριφορά σε ό,τι αφορά τη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων. 

Αριθμός θεματικών ενοτήτων:

Το μάθημα είναι οργανωμένο σε 20 ενότητες που αντιστοιχούν σε 20 δίωρα διαλέξεων οι οποίες έχουν βιντεοσκοπηθεί κατά την διάρκεια του χειμερινού εξαμήνου της ακαδημαϊκής χρονιάς 2013 - 2014. Στο υλικό που υπάρχει στην σελίδα αναγράφονται τίτλοι για την κάθε ενότητα καθώς και σύντομα περιεχόμενα και λέξεις κλειδιά για κάθε διάλεξη. 

Περιεχόμενα μαθήματος:

  1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue.
  2. Μετρήσιμα σύνολα.
  3. Ιδιότητες τού μέτρου Lebsgue.
  4. Ιδιότητες τού μέτρου Lebsgue (συνέχεια).
  5. Ασκήσεις.
  6. Ασκήσεις (συνέχεια).
  7. Μετρήσιμες συναρτήσεις.
  8. Μετρήσιμες συναρτήσεις (συνέχεια). Το σύνολο Cantor.
  9. Το σύνολο Cantor (συνέχεια). Μη μετρήσιμα σύνολα.
  10. Το θεώρημα Steinhaus. Το ολοκλήρωμα απλών συναρτήσεων.
  11. Το ολοκλήρωμα Lebsgue μη αρνητικών συναρτήσεων.
  12. Το ολοκλήρωμα Lebsgue μη αρνητικών συναρτήσεων (συνέχεια).
  13. Ολοκλήρωμα και σύγκλιση.
  14. Ασκήσεις (συνέχεια). Το γενικό ολοκλήρωμα Lebsgue.
  15. Εφαρμογές και ασκήσεις πάνω στο ολοκλήρωμα.
  16. Ασκήσεις (συνέχεια).
  17. Ασκήσεις (συνέχεια). Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων.
  18. Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων (συνέχεια).
  19. Προσέγγιση ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.
  20. Η μεγιστική συνάρτηση των Hardy και Littlewood. 

Αναλυτική περιγραφή ενοτήτων:

  • Εισάγεται η έννοια τού εξωτερικού μέτρου ως γενίκευση τού μήκους. Αποδεικνύονται βασικές ιδιότητες, όπως η υποπροσθετικότητα.
  • Εισάγονται η έννοια τής σ-άλγεβρας, τού συνόλου Borel και τής μετρησιμότητας κατά Καραθεοδωρή.
  • Παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες τού μέτρου Λεβεσγυε, ιδιαίτερα ιδιότητες κανονικότητας.
  • Ορίζονται οι μετρήσιμες συναρτήσεις και παρουσιάζονται οι βασικές τους ιδιότητες.
  • Κατασκευάζεται το σύνολο Cantor, ως βασικό παράδειγμα υπραριθμήσιμου συνόλου με μηδενικό μέτρο.
  • Δίνεται παράδειγμα μη μετρήσιμου συνόλου. Δίνεται έμφαση στη μη κατασκευαστική φύση τού επιχειρήματος.
  • Αποδεικνύεται το θεώρημα τού Steinhaus και δίνονται κάποιες εφαρμογές του.
  • Εισάγεται η έννοια τού ολοκληρώματος αρχικά για απλές και στη συνέχεια για θετικές μετρήσιμες συναρτήσεις.
  • Ορίζεται η κλάση των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων και αποδεικνύονται τα βασικά θεωρήματα σύγκλισης: Μονότονης και Κυριαρχημένης.
  • Εξετάζονται διάφοροι τύποι σύγκλισης μετρήσιμων συναρτήσεων: κατά σημείο, σχε- δόν ομοιόμορφα, κατά μέτρο, κατά μέση τιμή.
  • Μελετάται το πρόβλημα τής προσέγγισης ολοκληρώσιμων συναρτήσεων από απλές, κλιμακωτές και συνεχείς. Εξετάζονται διάφορες έννοιες προσέγγισης.
  • Ορίζεται η μεγιστική συνάρτηση και αποδεικνύεται η weak-type ανισότητα. Σαν ε- φαρμογή παρουσιάζεται ένα θεώρημα διαφορισιμότητας. 

Μαθησιακοί Στόχοι:

Η εισαγωγή στις έννοιες τού μέτρου και τού ολοκληρώματος Lebesgue στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. 

Μαθησιακά αποτελέσματα:

Κατανόηση τής έννοιας τού μέτρου σαν γενίκευση τής έννοιας τού μήκους. Κατανόηση τής διαδικασίας ορισμού τού ολοκληρώματος Lebesgue και εξοικείωση με τις βασικές ιδιότητές του.

Τύποι εκπαιδευτικού υλικού:

Το μάθημα διαθέτει:

  1. Σημειώσεις τού διδάσκοντα.
  2. Βιντεοδιαλέξεις
  3. quiz. 
Last modified: Sunday, 20 July 2014, 7:49 PM