Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος:
Το μάθημα καλύπτει επιγραμματικά τα παρακάτω θέματα
- Πιθανότητες: ορισμός, ιδιότητες, τύπος του Bayes, ανεξαρτησία ενδεχομένων.
- Διακριτές τυχαίες μεταβλητές και κατανομές: ορισμός, ιδιότητες, βασικές διακριτές κατανομές προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την κατανομή Poisson.
- Ροπές και ροπογεννήτριες διακριτών τυχαίων μεταβλητών: μέση τιμή, ροπές k-τάξης, διασπορά και τυπική απόκλιση, ανισότητες, ροπογεννήτρια.
- Πολυδιάστατες (ή διανυσματικές) διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
- Ροπές συνάρτησης διανυσματικής διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
- Στοχαστική ανεξαρτησία.
- Νόμος των μεγάλων αριθμών.
Αριθμός θεματικών ενοτήτων:
Το μάθημα είναι οργανωμένο σε 11 ενότητες που αντιστοιχούν στο υλικό που έχει διδαχθεί σε αντίστοιχες 11 εβδομάδες, δυο δίωρα κάθε βδομάδα. Για κάθε βδομάδα παρέχονται εν συντομία τα περιεχόμενα - ημερολόγιο των διαλέξεων καθώς και ένας αριθμός από βίντεο τα οποία καλύπτουν την ύλη των διαλέξεων. Στο τέλος κάθε ενότητας δίδεται ένα quiz με αντίστοιχες στο υλικό της ενότητας ερωτήσεις για εξάσκηση.
Περιεχόμενα μαθήματος:
- Συνολοσυνάρτηση πιθανότητας και ιδιότητές της
- Πειράματα, αποτελέσματα, ενδεχόμενα, συνάρτηση πιθανότητας
- Συνολοθεωρητικές πράξεις μεταξύ ενδεχομένων
- Παραδείγματα δειγματικών χώρων και υπολογισμοί διάφορων πιθανοτήτων ενδεχομένων
- Δεσμευμένη πιθανότητα, ολική πιθανότητα, ανεξαρτησία
- Χρήση ανεξαρτησίας, τύπος του Bayes
- Αρχή του πολλαπλασιασμού στο μέτρημα
- Συνδυασμοί, διωνυμικό θεώρημα
- Υπολογισμός αθροισμάτων με το διωνυμικό θεώρημα. Τυχαίες μεταβλητές
- Συγκεκριμένες κατανομές. Το παράδοξο των γενεθλίων
- Κατανομή P oisson. Κοινή πυκνότητα και ανεξαρτησία ΤΜ
- Μέση τιμή μιας ΤΜ. Γραμμικότητα μέσης τιμής. Δείκτριες ΤΜ
- Μέση τιμή γινομένου ανεξαρτήτων. Δείκτριες ΤΜ
- Συλλέκτης κουπονιών, χρονιές ρεκόρ, κοινή πυκνότητα και περιθώριες
- Ασκήσεις σε μέση τιμή. Διασπορά
- Διασπορά συγκεκριμένων κατανομών. Τυχαίος περίπατος σε δύο διαστάσεις
- Μέσες τιμές δυνάμεων αθροίσματος ανεξαρτήτων. Ροπές. Ανισότητα Markov
- Ανισότητα Chebyshev και εφαρμογές της, νόμος των μεγάλων αριθμών
- Ανισότητα Cauchy − Schwarz, συντελεστής συσχέτισης
- Δέσμευση ΤΜ ως προς ενδεχόμενα και άλλες ΤΜ
- Ιδιότητες δεσμευμένης μέσης τιμής. Αθροίσματα με τυχαίο πλήθος όρων
Αναλυτική περιγραφή ενοτήτων:
Στοιχεία συνδυαστικής (Βασικές αρχές απαρίθμησης, διατάξεις, συνδυασμοί, διωνυμικοί και πολυωνυμικοί συντελεστές).
Πιθανότητες (Πειράματα τύχης, δειγματόχωρος, ορισμός της πιθανότητας, ιδιότητες, δεσμευμένες πιθανότητες, θεώρημα ολικής πιθανότητας, τύπος του Bayes, ανεξαρτησία ενδεχομένων).
∆ιακριτές τυχαίες μεταβλητές και κατανομές (Ορισμός διακριτής τυχαίας μεταβλητής, συνάρτηση κατανομής, συνάρτηση μάζας πιθανότητας, ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής, βασικές διακριτές κατανομές (διωνυμική, αρνητική διωνυμική, υπεργεωμετρική, Poisson), προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την κατανομή Poisson).
Ροπές και ροπογεννήτριες διακριτών τυχαίων μεταβλητών (Μέση τιμή (ορισμός , ιδιότητες), μέση τιμή συνάρτησης διακριτής τυχαίας μεταβλητής, ροπές k-τάξης, διασπορά και τυπική απόκλιση, ανισότητες (Markov, Tschebyscheff, Jensen, Cauchy- Schwarz), ροπογεννήτρια).
Πολυδιάστατες (ή διανυσματικές) διακριτές τυχαίες μεταβλητές (Ορισμός, από κοινού συνάρτηση κατανομής και από κοινού συνάρτηση μαζας πιθανότητας, περιθώριες κατανομές, δεσμευμένες κατανομές, τύπος του Bayes, βασικές πολυδιάστατες διακριτές κατανομές (π.χ. πολυωνυμική)).
Ροπές συνάρτησης διανυσματικής διακριτής τυχαίας μεταβλητής (Μέση τιμή, ροπές k- τάξης, διασπορά, δεσμευμένη μέση τιμή και διασπορά, συνδιασπορά και συντελεστής συσχέτισης, πίνακας συνδιασπορών, ροπογεννήτρια).
Στοχαστική ανεξαρτησία (Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, ανεξαρτητες ακολουθίες τυχαίων μεταβλητών, ανεξαρτησία συναρτήσεων ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών, κατανομές αθροισμάτων ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών).
Νόμος των μεγάλων αριθμών.
Μαθησιακοί Στόχοι:
Εισαγωγή στις έννοιες της διακριτής πιθανότητας και της συνδυαστικής.
Μαθησιακά αποτελέσματα:
Κατανόηση της διακριτής πιθανότητας και εξοικίωση μέσω εφαρμογών. Κατανόηση και εφαρμογές της συνδυαστικής.
Τύποι εκπαιδευτικού υλικού:
Το μάθημα διαθέτει:
- Σημειώσεις τού διδάσκοντα
- Περιγραφή περιεχομένου διαλέξεων
- Βιντεοδιαλέξεις
- quiz