Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος:
Πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων. Aλγεβρικοί Aριθμοί. Kατασκευές με κανόνα και διαβήτη και τα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας. Σώμα ριζών πολυωνύμου. H ομάδα Galois μιας πεπερασμένης επέκτασης σωμάτων. Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois. Kριτήριο επιλυσιμότητος αλγεβρικών εξισώσεων. H γενική αλγεβρική εξίσωση βαθμού > 5 είναι άλυτη με χρήση μόνο ριζικών και των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων.
Αριθμός θεματικών ενοτήτων:
Περιεχόμενα μαθήματος:
- Εισαγωγή
- Προλεγόμενα
- Δακτύλιοι και Σώματα
- Ο δακτύλιος των πολυωνύμων
- Επεκτάσεις σωμάτων
- Βαθμός επέκτασης
- Επισύναψη
- Αλγεβρικές επεκτάσεις
- Πολυώνυμα και επεκτάσεις
- Τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας
- Σώμα ανάλυσης (διάσπασης) ενός πολυωνύμου f(X) στον K[X]
- Θεωρία Galois
- Αυτομορφισμοί σωμάτων
- Κανονικές επεκτάσεις
- Διαχωρίσιμες επεκτάσεις
- Επεκτάσεις Galois
- Το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois
- Εφαρμογές της θεωρίας Galois
- Μερικά στοιχεία Θεωρίας Ομάδων
- Ομάδες και εξισώσεις
- Κατασκευή κανονικού n-γώνου με κανόνα και διαβήτη
- Η γενική εξίσωση n-οστού βαθμού
- Επίλυση της γενικής εξίσωσης 2ου, 3ου και 4ου βαθμού
- Η ομάδα Galois πολυωνύμων 3ου και 4ου βαθμού
- Πεπερασμένα σώματα
Αναλυτική περιγραφή ενοτήτων:
Μαθησιακοί Στόχοι:
Η παρουσίαση βασικών αποτελεσμάτων της Θεωρία Galois και των εφαρμογών αυτής εντός του πλαισίου της Θεωρίας Σωμάτων.
Μαθησιακά αποτελέσματα:
Η κατανόηση του τρόπου αντιμετωπίσεως δύσκολων κλασικών προβλημάτων(όπως είναι, π.χ., το πρόβλημα του «τετραγωνισμού του κύκλου», ήτοι του κατά πόσον, δοθέντος ενός κύκλου, είναι εφικτή η κατασκευή ενός τετραγώνου με κανόνα και διαβήτη, ούτως ώστε το εμβαδόν των χωρίων των περικλειόμενων από το τετράγωνο και τον κύκλο να έχουν το ίδιο εμβαδόν) κάνοντας χρήση αλγεβρικώνμέσων (προερχομένων από τη Θεωρία Ομάδων και τη Θεωρία Σωμάτων).
Τύποι εκπαιδευτικού υλικού:
Το μάθημα διαθέτει:
- Σημειώσεις τού διδάσκοντα.
- Βιντεοδιαλέξεις
- quiz.