Σύντομη περιγραφή του μαθήματος:

Το μάθημα χωρίζεται σε τρία βασικά  κεφάλαια. Το πρώτο  αφορά στην μελέτη των p-αδικών σωμάτων,και την σχετική ανάλυση σε αυτά. Τονίζονται οι ομοιότητες αλλά και οι διαφορέ ςως προ το σώμα των  πραγματικών αριθμών. Το δεύτερο κεφάλαιο αφορά στην μελέτη βασικών εννοιών της (γεωμετρικής) θεωρίας των αλγεβρικών καμπυλών. Ο κύριος στόχος είναι η διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος του Bezout. Το τρίτο κεφάλαιο αφορά στην μελέτη των ρητών σημείων μιας ρητής ή μιας ελλειπτικής καμπύλης. Γίνεται επίσης μικρή  αναφορά σε καμπύλες γένους μεγαλύτερου του 1.


Περιεχόμενα Μαθήματος:

1. Εισαγωγή


2. Το σώμα των p-αδικών αριθμών   
    • Επίλυση ισοτιμίών \((modp^{n})\), ( όπου p  πρώτος και \(n\)     φ  φυσικός  αριθμός
    • Ο δακτύλιος των ακεραίων   p-αδικών αριθμών
    • Πλήρωση του του σώματος των ρητών ως προς μία p-αδική   εκτίμηση. Ομοιότητες και διαφορές προς το σώμα των πραγματικών     αριθμών.
    • Το   θεώρημα του  Ostrowski και the product formula.


3. Το τοπικό-γενικό αξίωμα
    • Εισαγωγή
    • Το λήμμα του Hensel
    • Το θεώρημα  Hasse-Minkowski
    • Το θεώρημα Chevalley-Warning
    • Το θεώρημα του Legendre εφαρμογές


4. Στοιχεία αλγεβρικής Γεωμετρίας
    • Βασικές έννοιες
    • Το Nullstellensatz
    • Ανάγωγα αλγεβρικά σύνολα
    • Αλγεβρικές καμπύλες ορισμένες στο σώμα των μιγαδικών
    • Πολλαπλότητα τομής
    • Προβολικό επίπεδο, το θεώρημα Bezout και εφαρμογές
    • Σημεία καμπής μιας αλγεβρικής καπμπύλης
    • Μορφή του Weierstrass μιας μη-ιδιάζουσας κυβικής καμπύλης


5. Αριθμητική αλγεβρικών καμπυλών
    • Το γένος μιας αλγεβρικής καμπύλης
    • Ρητά σημεία κυβικών καμπυλών
    • Παραδείγματα και μέθοδοι υπολογισμού
    • Το θεώρημα των Lutz-Nagell
    • Το θεώρημα του  Mordell και το θεώρημα του Tate
    • Ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένο σώμα
    • Εικασία του Riemann, Θεώρημα του Hasse
    • Ελλειπτικές καμπύλες και ισοδύναμοι αριθμοί
    • Ρητά σημεία αλγεβρικών καμπυλών γένους>1.

Μαθησιακοί στόχοι:

Το μάθημα αποσκοπεί στην εμπέδωση βασικών γνώσεων ενός μοντέρνου κλάδου της Θεωρίας Αριθμών, τη λεγόμενη
Αριθμητική Γεωμετρία.  Ο φοιτητής αντιμετωπίζει για πρώτη φορά την πλήρωση του σώματος των ρητών ως προς τις   p-αδικές εκτιμήσεις. Βασικός στόχος είναι η μελέτη αυτών των σωμάτων, καθώς και η βασική  μελέτη της θεωρίας των αλγεβρικών καμπυλών. Τέλικός στόχος είναι η μελέτη της αριθμητικής των αλγεβρικών καμπυλών, δηλαδή η εύρεση όλων των ρητών σημείων αλγεβρικής καμπύλης ορισμένης υπέρ το σώμα των ρητών αριθμών.

Μαθησιακά αποτελέσματα:

Η γνώση των παραπάνω αναφερθέντων εννοιών προσφέρει στο φοιτητή την ικανότητα να αντιμετωπίσει προχωρημένες έννοιες και να κατανοήσει σε βάθος θέματα Αλγέβρας, Θεωρίας Αριθμών και Αλγεβρικής Γεωμετρίας.


Last modified: Tuesday, 4 August 2015, 5:04 PM