1. Αποδείξτε ότι γιά κάθε τρίγωνο \(ABC\) ισχύει: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=0\). Αν γιά τα διανύσματα \(\vec{u},\,\vec{v},\,\vec{w}\) ισχύει οτι  \(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=0\), τότε αποδείξτε οτι υπάρχει τρίγωνο \(ABC\) τέτοιο ώστε \(\overrightarrow{AB}= \vec{u},\,  \overrightarrow{BC}=\vec{v},\,  \overrightarrow{CA}= \vec{w}\) (όπου οι ισότητες είναι ισότητες ελεύθερων διανυσμάτων!). 

2. Αποδείξτε με χρήση διανυσμάτων (δηλαδή χωρίς να χρησιμοποιήσετε συντεταγμένες ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς!) οτι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα \(M,N\) των πλευρών \(AB\) και \(AC\) ενός τριγώνου \(ABC\) είναι παράλληλο προς την πλευρά \(BC\) και έχει μήκος το μισό της \(BC\).

3. Αν τα \(\vec u,\vec v\) είναι κάθετα και έχουν ίδιο μήκος ,δείξτε ότι και τα \(2\vec u+3\vec v,6\vec u-4\vec v\) είναι κάθετα.

4. Αν το τρίγωνο \(ABC\) είναι ισόπλευρο, \(a\) είναι το μήκος της πλευράς του, \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), και \(\vec v=\overrightarrow{BC}\), υπολογίστε το μήκος του \(\vec u+3\vec v\) ως συνάρτηση του \(a\). Θεωρήστε τις ευθείες \(\epsilon_1\) και \(\epsilon_2\) των οποίων το γενικό σημείο \(P_1\) και \(P_2\) ικανοποιεί τις σχέσεις \(\overrightarrow{OP_1}= \vec{u}_1+t\,\vec{v}_1\) και \(\overrightarrow{OP_2}= \vec{u}_2+s\, \vec{v}_2\) αντίστοιχα.

5. Αποδείξτε οτι αν τα \(\vec{v}_1\) και \(\vec{v}_2\) δεν είναι παράλληλα, τότε οι δύο ευθείες έχουν ένα μοναδικό σημείο τομής. Τι γίνεται αν τα \(\vec{v}_1\) και \(\vec{v}_2\) είναι παράλληλα; Εξηγήστε γεωμετρικά τις παρατηρήσεις σας.



Υπόδειξη: Τα σημεία της ευθείας \(\epsilon_1\) ικανοποιούν τη σχέση \(\overrightarrow{OP_1}= \vec{u}_1+t\,\vec{v}_1\) για κάποιο \(t\) και τα σημεία της ευθείας \(\epsilon_2\) ικανοποιούν τη σχέση \(\overrightarrow{OP_2}= \vec{u}_2+s\,\vec{v}_2\) για κάποιο \(s\). Για να βρίσκεται ένα σημείο και στις δύο ευθείες πρέπει να υπάρχουν αριθμοί \(t\) και \(s\) τέτοιοι ώστε \( \vec{u}_1+t\,\vec{v}_1 = \vec{u}_2+s\,\vec{v}_2\). Αποδείξτε οτι αν τα \(\vec{v}_1\) και \(\vec{v}_2\) δεν είναι παράλληλα πράγματι υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί.

Last modified: Wednesday, 8 July 2015, 11:52 PM