1. Τα διανύσματα \(\vec{u}=\overrightarrow{OA},\, \vec{v}=\overrightarrow{OB}\) και \(\vec{w}=\overrightarrow{OC}\) αποτελούν ακμές παραλληλεπιπέδου, του οποίου η κορυφή απέναντι στην \(O\) είναι το σημείο \(D\).

α. Σχεδιάστε το παραλληλεπίπεδο και ονοματίστε τις κορυφές του.

β. Εκφράστε τα διανύσματα \( \overrightarrow{OD}\) και \(\overrightarrow{CD}\)  συναρτήσει των \(\vec{u},\, \vec{v},\,\vec{w}\).

2. Με τρία μολύβια (ή τρία καλαμάκια, ή τρία σπίρτα) ελέγξτε οτι εάν η τριάδα \( (\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}) \) είναι δεξιόστροφο σύστημα, το ίδιο ισχύει και για την τριάδα \( (\vec{b},\,\vec{c},\,\vec{a}) \), αλλά όχι για την τριάδα \( (\vec{b},\,\vec{a},\,\vec{c}) \).

3. Εάν τα διανύσματα \( \vec{u},\,\vec{v},\,\vec{w} \) της Δραστηριότητας 1 ικανοποιούν επί πλέον τη σχέση \(\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}\), εκφράστε το διάνυσμα \( \mathrm{pr}_{\vec{u}+\vec{v}} \overrightarrow{OD} \) συναρτήσει των \(\vec{u},\, \vec{v},\,\vec{w}\).

4. Δίδεται ένα ορθοκανονικό δεξιόστροφο σύστημα \( (O,\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})\) και τα διανύσματα \(\vec{u}\) με συντεταγμένες \((1,\,1,\,1)\), \(\vec{v}\) με συντεταγμένες \((-1,\,-1,\,1)\) και \( \vec{a}\) με συντεταγμένες \((1,\,2,\,3)\).

α. Υπολογίστε τις συντεταγμένες του εξωτερικού γινομένου \(\vec{u} \times \vec{v}\).

β. Υπόλογιστε το μικτό γινόμενο \( [\vec{u},\,\vec{v},\,\vec{a}]\).

γ. Υπολογίστε τις συντεταγμένες του διανύσματος \( (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{a} \) και επαληθεύστε οτι
\[ (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{a} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\,\vec{v} - (\vec{v}\cdot \vec{a})\, \vec{u}\,.\]
Τελευταία τροποποίηση: Δευτέρα, 9 Νοεμβρίου 2015, 7:43 PM