Φυλλάδιο Ασκήσεων 4
1. 'Estw \(\varepsilon\) h euje'ia (στο επίπεδο!) me parametrik'h perigraf'h \((1+t,1+2t)\).
(1) Βρείτε μια αναλυτική περιγραφή της \(\varepsilon\)
(2) Θεωρήστε την εξίσωση \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\) με παραμετρική περιγραφή \((x,y)\in\varepsilon_1\Leftrightarrow (x,y)=(1,2)+r(2,4)\)
\((x,y)\in\varepsilon_2\Leftrightarrow (x,y)=(0,-1)-s(2,4)\)
\((x,y)\in\varepsilon_3\Leftrightarrow (x,y)=(1,3)+t(2,-4)\)
Να εξετάσετε αν οι \(\varepsilon,\varepsilon_i\), όπου \(i=1,2,3\), ταυτίζονται, αν είναι παράλληλες χωρίς κοινά σημεία, ή αν τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο. Στην τρίτη περιπτωση να υπολογίσετε το σημείο τομής.
2. Έστω \(\varepsilon\) η ευθεία (στο χώρο!) με παραμετρική περιγραφή \((2+2t,2,2-2t)\).
Θεωρήστε τις εξισώσεις \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\)
με παραμετρική περιγραφή.
\((x,y,z)\in\varepsilon_1\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,-1,0)+r(1,1,0)\)
\((x,y,z)\in\varepsilon_2\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,-1,1)-s(1,1,0)\)
\((x,y,z)\in\varepsilon_3\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,-1,1)+t(-4,0,4)\)
Να εξετάσετε αν οι \(\varepsilon,\varepsilon_i\)
έχουν κοινά σημεία, όπου (i=1,2,3\).
Αν ναι, να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των \(\varepsilon,\varepsilon_i\).
Αν όχι, να εξετάσετε αν οι \(\varepsilon,\varepsilon_i\) είναι ασύμβατες.
3. Θεωρήστε τα επίπεδα \(\Pi,\Pi_1,\Pi_2\) με αναλυτική περιγραφή
\((x,y,z)\in\Pi\Leftrightarrow 2x+3y+z+1=0\)
\((x,y,z)\in\Pi_1\Leftrightarrow x+y+z+1=0\)
\((x,y,z)\in\Pi_2\Leftrightarrow -4x-6y-2z-2=0\)
Δώστε μια παραμετρική περιγραφή του συνόλου των κοινών σημείων των \(\Pi,\Pi_1\) και του συνόλου των κοινών σημείων των \(\Pi,\Pi_2\).
Υπολογίστε την απόσταση του σημείου \((1,\,1,\,1)\) από το επίπεδο \(\Pi\), και από την τομή των επιπέδων \(\Pi\) και \(\Pi_1\).
4. Έστω \(\Pi\) το επίπεδο με παραμετρική περιγραφή
\((1,0,1)+s(1,2,3)+t(1,1,1)\).
Να δώσετε μια αναλυτική περιγραφή του \(\Pi\), με δύο τρόπους:
(1) απαλείφοντας πρώτα την παράμετρο \(t\) και κατόπιν την παράμετρο \(s\).
(2) χρησιμοποιώντας το εξωτερικό γινόμενο.
Ελέγξτε οτι οι δύο διαδικασίες καταλήγουν σε ισοδύναμες εξισώσεις.