1. Βρείτε γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων


\(\left[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 2\end{array}\right] \), \(\quad    \left[\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 4\end{array}\right] \), \(\quad                   \left[\begin{array}{r}2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right] \) τέτοιους ώστε

(1) Η πρώτη συνιστώσα να είναι 2.

(2) Η πρώτη συνιστώσα να είναι 2 και η δεύτερη συνιστώσα να είναι 2.

(3) Η τρίτη συνιστώσα να είναι 1.


Είναι αυτά τα αποτελέσματα μοναδικά?



2. Θεωρούμε το σύστημα εξισώσεων


\(\begin{array}{rcrcrcr}2u& -& 3v& & & =& 3\\4u& -& 5v& +& w& =& 7\\2u& -& v& -& 3w& =& 5\end{array}\)

(1)Κάθε εξίσωση παριστάνει ένα επίπεδο στο τριδιάστατο χώρο με σύστημα συντεταγμέ\-νων \(u,\, v,\, w\). Βρείτε τα σημεία τομής κάθε επιπέδου με τους άξονες, και προσπαθήστε να σχεδιάσετε μέρος των τριών επιπέδων στο σχήμα σας.


(2)Εφαρμόστε τη διαδικασία απαλοιφής \(\tln{Gauss}\) για να βρείτε τη λύση του συστήματος: αφαιρέστε ένα πολλαπλάσιο της πρώτης εξίσωσης από τη δεύτερη, έτσι ώστε να μηδενιστεί ο συντελεστής του \(u\) στη δεύτερη εξίσωση. Κάνετε το ίδιο για την τρίτη εξίσωση. Κατόπιν αφαιρέστε ένα πολλαπλάσιο της (νέας) δεύτερης εξίσωσης από την (νέα) τρίτη εξίσωση, έτσι ώστε να μηδενιστεί ο συντελεστής του \(v\) στην τρίτη εξίσωση. Βρείτε το \(w\) και εφαρμόστε ανάδρομη αντικατάσταση για να βρείτε το \(v\)και το \(u\).




3. Υπολογίστε το εσωτερικό γινόμενο και το

γινόμενο πινάκων:


\(\left[\begin{array}{ccc}1&-2&7 \end{array} \right]\,\left[\begin{array}{r}3\\5\\1\end{array} \right]\,,\qquad\left[\begin{array}{r} 1\\-2\\7\end{array} \right] \, \left[\begin{array}{ccc}3&5&1 \end{array} \right]\)




4. Υπολογίστε τα γινόμενα πινάκων


\(\left[\begin{array}{rrr}2&1&0\\ 1&2&3 \end{array} \right] \)\(\left[\begin{array}{r} 0,5 \\ \pi/2 \\ \sqrt{2}/3 \end{array} \right]\),

\(\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&2&0\\1&0&3 \end{array}\right] \),

\(\left[ \begin{array}{ccc}-1& 6\cos(\pi/6) & 7\\ 3&2&2\\ \pi/3 & \sqrt{3} &1 \end{array} \right]\).




5. Γράψτε τους 3 επί 3 πίνακες \(A\) και \(B\) με στοιχεία

\(a_{ij}= i-j \quad \mbox{ και } \quad b_{ij} = \frac{1}{j} \,.\)

και υπολογίστε τα γινόμενα \(AB\), \(BA\) και \(A^2\).




6. Εάν τα στοιχεία του πίνακα \(A\) είναι

\(a_{ij}\), χρησιμοποιήστε το συμβολισμό των δεικτών για να γράψετε

(1)τον πρώτο οδηγό

(2)τον πολλαπλασιαστή \(\lambda_{i1}\) της πρώτης γραμμής όταν την αφαιρούμε από την γραμμή \(i\)

(3)Το νέο στοιχείο που αντικαθιστά το \(a_{ij}\) μετά αυτή την

αφαίρεση.

(4)τον δεύτερο οδηγό.




6. Εάν \(A\) είναι πίνακας \(m \times n\) και \(B\) είναι πίνακας \(n \times r\), δείξτε οτι για τον υπολογισμό του γινομένου \(AB\) απαιτούνται \(mnr\) πολλαπλασιασμοί αριθμών. (Σε αυτό το πρόβλημα δεν μας απασχολεί ο αριθμός των προσθέσεων). Εάν \(C\) είναι πίνακας \(r \times p\), βρείτε πόσοι πολλαπλασιασμοί αριθμών απαιτούνται για τον υπολογισμό των γινομένων \((AB)C\) και \(A(BC)\).


Τελευταία τροποποίηση: Πέμπτη, 9 Ιουλίου 2015, 1:29 AM