Φυλλάδιο Ασκήσεων 11
1. Δείξτε οτι εάν \(A\) και \(B\) είναι οι (πίνακες που αντιστοιχούν στις) ανακλάσεις στον \(\vartheta\)-άξονα και στον \((\vartheta+\psi)\)-άξονα, τότε \(BA\) είναι η περιστροφή κατά γωνία \(2\psi\).
2. Εάν \(V=\{x\in \mathbb{R}^2 : x_1 = x_2 \}\), βρείτε (μία βάση για) τους διανυσματικούς υπόχωρους \(T_A(V)\) και \(T_A^{-1}(V)\), για τον πίνακα
- \(A=\left[\begin{array}{ll}1&2\\2&4\end{array}\right]\)
- \(A=\left[\begin{array}{ll}1&3\\0&2\end{array}\right]\)
3. Ελέγξτε εάν οι παρακάτω πίνακες έχουν αριστερό ή δεξιό αντίστροφο, και υπολογίστε το
\[\begin{array}{cc}{A = \left[ \begin{array}{rr} 1&2\\ 2&4 \end{array} \right]}&{B =\left[ \begin{array}{rr} 1&3 \\ 0&2 \end{array} \right]}\\ \mbox{}& \\ {C = \left[ \begin{array}{rrr} 3&2&-1\end{array} \right]\,\,}& {\,\,D = \left[ \begin{array}{rrrr} 3&0&2&1\\ -1&0&1&-1 \end{array} \right]} \end{array}\]
4. Δείξτε οτι το διάνυσμα \(x-y\) είναι κάθετο στο \(x+y\) εάν και μόνον εάν \(||x||=||y||\). Ποιά ιδιότητα των ρόμβων εκφράζει αυτό το αποτέλεσμα;
5. Βρείτε όλα τα διανύσματα του \( \mathbb{R}^3\) που είναι ορθογώνια στο \((1,\,1,\,1)\) και στο \((1,\,-1,\,0)\).
6. Θεωρήστε τον υποχώρο \(S\) του \( \mathbb{R}^4\) που περιέχει όλα τα διανύσματα που ικανοποιούν την \(x_1+x_2+x_3+x_4=0\) (δηλαδή το μηδενόχωρο ενός \(1\times 4\) πίνακα). Βρείτε μία βάση για το χώρο \(S^\perp\), που περιέχει όλα τα διανύσματα που είναι ορθογώνια στον \(S\).
7. Σχεδιάστε στο επίπεδο τους τέσσερεις θεμελιώδεις υπόχωρους των πινάκων \(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&6 \end{array}\right] \mbox{ και } B= \left[\begin{array}{cc}1&0\\3&0 \end{array}\right].\)
8. Σε κάθε περίπτωση, κατασκευάστε έναν πίνακα \(A\) με τη ζητούμενη ιδιότητα ή εξηγήστε γιατί αυτό δεν είναι δυνατό
- Ο χώρος στηλών περιέχει τα διανύσματα \((1,\,2,\,-3)\) και \((2,\,-3,\,5)\), και ο μηδενοχώρος περιέχει το \((1,\,1,\,1)\).
- Ο χώρος γραμμών περιέχει τα \((1,\,2,\,-3)\) και \((2,\,-3,\,5)\) και ο μηδενοχώρος περιέχει το \((1,\,1,\,1)\).
- Η εξίσωση \(\displaystyle Ax=\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\) έχει λύση, και \(A^T\left[\begin{array}{c}1\\0\\0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0 \end{array}\right]\).
- Το άθροισμα των στηλών είναι το διάνυσμα \((0,\,0,\,0)\), και το άθροισμα των γραμμών είναι το διάνυσμα \((1,\,1,\,1)\).
9. Κατασκευάστε έναν \(3 \times 3\) πίνακα \(A\), χωρίς μηδενικά στοιχεία, του οποίου οι στήλες είναι ανά δύο κάθετες. Υπολογίστε το γινόμενο \(A^TA\). Γιατί είναι το γινόμενο διαγώνιος πίνακας;