Περιγραφή μαθήματος

Το μάθημα ακολουθεί το μάθημα «ΜΕΜ102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα» («ΜΕΜ112 Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα» στο νέο πρόγραμμα) και αποτελεί εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα σε γενικούς διανυσματικούς χώρους, κυρίως πεπερασμένης διάστασης. Ταυτόχρονα το μάθημα αποτελεί την πρώτη επαφή με την αξιωματική προσέγγιση μαθηματικών δομών.

Στόχος του μαθήματος είναι η αξιωματική μελέτη των διανυσματικών χώρων και των γραμμικών απεικονίσεων. Η μελέτη θεωρητικών προβλημάτων αφ' ενός συνδέεται με τις υπολογιστικές μεθόδους που αναπτύχθηκαν στο μάθημα Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα, και αφ' ετέρου στοχεύει να αναδείξει τη χρησιμότητα της αξιωματικής προσέγγισης.

Διανυσματικοί χώροι. Γραμμικοί υπόχωροι. Γραμμική ανεξαρτησία, βάση, διάσταση. Άθροισμα υποχώρων.

Γραμμικές απεικονίσεις, υπόχωροι που σχετίζονται με μία γραμμική απεικόνιση. Σύνθεση. Ισομορφισμοί.
Ευθύ άθροισμα διανυσματικών χώρων. Χώρος πηλίκο. Θεωρήματα ισομορφισμού. Δυϊκοί χώροι.
Πίνακας γραμμικής απεικόνισης ως προς μία βάση. Αλλαγή βάσης.
Αναλλοίωτοι υπόχωροι. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα. Αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών. Θεώρημα Cayley - Hamilton. Τριγωνοποίηση πίνακα.
Νόρμα και εσωτερικό γινόμενο. Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt. Διαγωνιοποίηση συμμετρικών και ερμιτιανών πινάκων.

Εξοικείωση με την αξιωματική προσέγγιση της έννοιας του διανυσματικού χώρου. Δεξιότητα στην περιγραφή υποχώρων και αθροισμάτων, και κατανόηση της έννοιας του χώρου πηλίκου. Κατανόηση της έννοιας της γραμμικότητας και της σημασίας του ισομορφισμού. Δεξιότητα στην αλλαγή βάσης. Κατανόηση της έννοιας του αναλοίωτου υπόχωρου. Εξοικείωση με την έννοια του εσωτερικού γινομένου, και γνώση των ιδιοτήτων μοναδιαίων και ερμιτιανών πινάκων.

Σημειώσεις
Βιντεοσκοπημένες διαλέξεις
Διαφάνειες
Δραστηριότητες κατανόησης
Περιγραφή αναμενόμενων μαθησιακών αποτελεσμάτων
Φυλλάδια προβλημάτων