Section outline

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι

    Σύμπτυξη όλων Ανάπτυξη όλων
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    ΔΙΑΛΕΞΗ 1

    • Διαφάνειες [1Α & 1Β] Αρχείο

      Δείτε και τις Σημειώσεις, σελίδες 1 - 3.

    • Διάλεξη [1Α]: Εισαγωγή Σελίδα
    • Διάλεξη [1B]: Αλγεβρικά Σώματα Σελίδα
    • Δραστηριότητες 1Β Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 1Β.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 1Β.

      • Οι περισσότερες ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού στο σύνολο \(\mathbb{Q}\) των ρητών αριθμών βασίζονται στα αξιώματα του αλγεβρικού σώματος.
      • Σε πολλά υποσύνολα του \(\mathbb{R}\) ή του \(\mathbb{C}\), καθώς και σε πεπερασμένα σύνολα όπως το σύνολο \(\mathbb{Z}_{p}\) των ακεραίων modulo \(p\), για \(p\) πρώτο αριθμό, ορίζονται πράξεις που ικανοποιούν τα ίδια αξιώματα.
      • Πρέπει να μπορείτε να κάνετε υπολογισμούς σε αυτά τα σώματα.

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    ΔΙΑΛΕΞΗ 2

    • Διαφάνειες [2] Αρχείο
    • Διάλεξη [2]: Διανυσματικοί Χώροι Σελίδα
    • Δραστηριότητες 2 Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 2.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 2.

      • Ένας διανυσματικός χώρος πάνω από ένα οποιοδήποτε αλγεβρικό σώμα είναι ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου ονομάζουμε διανύσματα, και στο οποίο ορίζεται το άθροισμα διανυσμάτων και ο πολλαπλασιασμός διανύσματος με "αριθμό", δηλαδή με στοιχείο του σώματος, έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα αξιώματα ΔΧ1 - ΔΧ8.
      • Πρέπει να διακρίνετε σε κάθε περίπτωση ποιά αντικείμενα είναι τα "διανύσματα" και ποιά οι "αριθμοί", ώστε να τα χρησιμοποιείτε κατάλληλα στις πράξεις.
      • Διαδικασίες όπως η επίλυση εξισώσεων και έννοιες όπως η γραμμική ανεξαρτησία και η διάσταση, βασίζονται σε ιδιότητες που προκύπτουν από τα αξιώματα, και συνεπώς ισχύουν σε κάθε διανυσματικό χώρο.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    ΔΙΑΛΕΞΗ 3

    • Διαφάνειες [3] Αρχείο
    • Διάλεξη [3]: Γενικά παραδείγματα διανυσματικών χώρων Σελίδα
    • Δραστηριότητες 3 Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 3.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 3 

      Οι χώροι \(\mathbb{R}^n\) είναι διανυσματικοί χώροι πάνω από το σώμα \(\mathbb{R}\), αλλά υπάρχουν πολλοί άλλοι διανυσματικοί χώροι πάνω από διαφορετικά αλγεβρικά σώματα, όπως χώροι πολυωνύμων, χώροι ακολουθιών και χώροι συναρτήσεων. Πρέπει να μπορείτε να κάνετε υπολογισμούς σε αυτούς τους διανυσματικούς χώρους, διακρίνοντας ποια είναι τα "διανύσματα" και ποιοί οι "αριθμοί" σε κάθε περίπτωση.

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    ΔΙΑΛΕΞΗ 4

    • Διαφάνειες [4] Αρχείο
    • Διάλεξη [4]: Γραμμικοί υπόχωροι Σελίδα
    • Δραστηριότητες 4 Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 4.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 4

      • Πρέπει να κατανοείτε και να μπορείτε να ελέγξετε πότε ένα υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου είναι γραμμικός υπόχωρος, και πώς αυτή η ιδιότητα εξαρτάται από το υποσύνολο αλλά και από το σώμα πάνω από το οποίο ορίζεται ο διανυσματικός χώρος.
      • Να κατανοείτε γιατί η τομή δύο γραμμικών υποχώρων είναι επίσης γραμμικός υπόχωρος.

       

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    ΔΙΑΛΕΞΗ 5

    • Διαφάνειες [5Α & 5Β] Αρχείο
    • Διάλεξη [5Α]: Χώρος που παράγεται από υποσύνολο διανυσματικού χώρου Σελίδα
    • Δραστηριότητες 5A Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 5A.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 5Α

      • Πρέπει να κατανοείτε ποιός είναι ο γραμμικός υπόχωρος που παράγεται από ένα σύνολο διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο.
      • Γραμμικοί υπόχωροι του \(\mathbb{K}^n\) συνήθως περιγράφονται με δύο διαφορετικούς τρόπους: ως ο υπόχωρος που παράγεται από κάποια διανύσματα ή ως το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.
      • Πρέπει να μπορείτε να αναγνωρίζετε αυτούς τους δύο τρόπους σε διαφορετικούς διανυσματικούς χώρους και να μπορείτε να περάσετε από τη μία περιγραφή στην άλλη.

    • Διάλεξη [5B]: Άθροισμα γραμμικών υποχώρων Σελίδα
    • Δραστηριότητες 5Β Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 5Β.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 5Β

      • Το άθροισμα δύο γραμμικών υποχώρων ενός διανυσματικού χώρου είναι ο γραμμικός υπόχωρος που παράγεται από την ένωση των δύο υποχώρων. Εάν η τομή των δύο υποχώρων είναι ο μηδενικός υπόχωρος, το άθροισμα λέγεται ευθύ.
      • Πρέπει να μπορείτε να περιγράψετε με διάφορους τρόπους το άθροισμα δύο γραμμικών υποχώρων και να αναγνωρίζετε πότε το άθροισμα είναι ευθύ.
      • Να κατανοείτε γιατί σε ένα ευθύ άθροισμα δύο υποχώρων, κάθε διάνυσμα γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων των δύο υποχώρων.

       

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    ΔΙΑΛΕΞΗ 6: Γραμμική εξάρτηση - Γραμμική ανεξαρτησία

    • Διαφάνειες [6Α & 6Β & 6Γ] Αρχείο
    • Διάλεξη [6Α]: Γραμμική εξάρτηση Σελίδα
    • Δραστηριότητες 6A Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 6A.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 6Α

      • Πρέπει να μπορείτε να αναγνωρίζετε σε διαφορετικούς διανυσματικούς χώρους, ορισμένους πάνω από διαφορετικά σώματα, εάν μία συλλογή διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτημένη.
      • Ειδικότερα να κατανοείτε οτι η γραμμική εξάρτηση μίας συλλογής διανυσμάτων εξαρτάται και από το σώμα πάνω από το οποίο ορίζεται ο διανυσματικός χώρος.
    • Διάλεξη [6Β]: Γραμμική Ανεξαρτησία Σελίδα
    • Δραστηριότητες 6Β Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 6Β.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 6Β

      • Να κατανοείτε την έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας σε διαφορετικούς διανυσματικούς χώρους, ορισμένους πάνω από διαφορετικά σώματα.
      • Να κατανοείτε πώς να ελέγξετε εάν μία πεπερασμένη συλλογή διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητη, και να μπορείτε να το ελέγξετε σε απλές περιπτώσεις.
    • Διάλεξη [6Γ]: Ιδιότητες γραμμικά ανεξάρτητων συλλογών διανυσμάτων Σελίδα
    • Δραστηριότητες 6Γ Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 6Γ.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 6Γ

      • Να κατανοείτε και να μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μοναδικότητα των συντελεστών στην έκφραση ενός διανύσματος ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων ενός γραμμικά ανεξάρτητου συνόλου.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    ΔΙΑΛΕΞΗ 7: Βάσεις, διάσταση

    • Διαφάνειες [7Α & 7Β & 7Γ] Αρχείο
    • Διάλεξη [7Α]: Βάσεις Σελίδα
    • Δραστηριότητες 7Α Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 7Α.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 7Α

      • Μία βάση ενός διανυσματικού χώρου είναι ένα σύνολο διανυσμάτων που 
        • Παράγει το διανυσματικό χώρο
        • Είναι γραμμικά ανεξάρτητο
      • Κάθε διάνυσμα ενός χώρου μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων μίας βάσης, και μάλιστα με μοναδικό τρόπο.
      •  Να μπορείτε να ελέγξετε εάν ένα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός διανυσματικού χώρου.
    • Διάλεξη [7Β]: Θεώρημα αντικατάστασης Σελίδα
    • Δραστηριότητες 7Β Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 7Β.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 7Β

      • Να κατανοείτε οτι κάθε σύνολο που παράγει ένα διανυσματικό χώρο περιέχει μία βάση του διανυσματικού χώρου.
      • Να μπορείτε να κατασκευάσετε μία βάση ενός διανυσματικού χώρου που περιέχει ένα συγκεκριμένο γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων του χώρου.
    • Διάλεξη [7Γ]: Διάσταση Σελίδα
    • Δραστηριότητες 7Γ Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 7Γ.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 7Γ

      • Να κατανοείτε οτι η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου είναι ο αριθμός των στοιχείων μίας βάσης, εάν αυτός είναι πεπερασμένος.
      • Να μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη διάσταση για να συμπεράνετε εάν ένα υποσύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο ή παράγει ένα διανυσματικό χώρο.
      • Να γνωρίζετε τον τύπο που συνδέει τις διαστάσεις δύο χώρων με την τομή και το άθροισμά τους.
      • Να κατανοείτε την έννοια του συμπληρώματος και να μπορείτε να βρείτε ένα συμπλήρωμα ενός υπόχωρου σε ένα διανυσματικό χώρο.
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    ΔΙΑΛΕΞΗ 8

    • Διαφάνειες [8Α & 8Β] Αρχείο
    • Διάλεξη [8Α]: Γραμμικές απεικονίσεις Σελίδα
    • Δραστηριότητες 8Α Σελίδα

      Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 8Α.

    • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 8Α

        • Να μπορείτε να εξηγήσετε τι είναι μία γραμμική απεικόνιση μεταξύ διανυσματικών χώρων
        • Να μπορείτε να ελέγξετε εάν μία απεικόνιση είναι γραμμική ή όχι.
        • Να γνωρίζετε βασικά παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων (πολλαπλασιασμός με πίνακα, πολλαπλασιασμός με πολυώνυμο, . . .)
        • Διάλεξη [8B]: Ιδιότητες γραμμικών απεικονίσεων Σελίδα
        • Δραστηριότητες 8Β Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 8Β.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 8Β

          • Να κατανοείτε οτι η γραμμικότητα μίας απεικόνισης εξαρτάται και από το σώμα πάνω από το οποίο ορίζονται οι διανυσματικοί χώροι.
          • Να μπορείτε να εξηγήσετε γιατί το σύνολο όλων των γραμμικών απεικονίσεων μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων είναι επίσης διανυσματικός χώρος, με πράξεις κατά σημείο.
          • Να γνωρίζετε οτι μία γραμμική απεικόνιση απεικονίζει γραμμικά εξαρτημένα σύνολα διανυσμάτων σε γραμμικά εξαρτημένα σύνολα διανυσμάτων.


      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΕΝΟΤΗΤΑ 9

        • Διαφάνειες [9Α & 9Β & 9Γ & 9Δ & 9Ε] Αρχείο
        • Διάλεξη [9Α]: Εικόνα και πυρήνας γραμμικής απεικόνισης. Πίνακες Σελίδα
        • Δραστηριότητες 9Α Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 9Α.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 9Α

          • Να γνωρίζετε οτι η εικόνα μέσω μίας γραμμικής απεικόνισης \(L:\,V \longrightarrow W\) εννός γραμμικού υπόχωρου του \(V\) είναι γραμμικός υπόχωρος του \(W\), και η αντίστροφη εικόνα ενός γραμμικού υπόχωρου του \(W\) είναι γραμμικός υπόχωρος του \(V\).
          • Να γνωρίζετε τι είναι η εικόνα \(\mathrm{im}\, L\) της γραμμικής απεικόνισης \(L\).
          • Να γνωρίζετε τι είναιο πυρήνας \(\mathrm{ker}\,L\) της γραμμικής απεικόνισης \(L\).
          • Να μπορείτε να βρείτε τον πυρήνα και την εικόνα μίας γραμμικής απεικόνισης που ορίζεται μέσω πολλαπλασιασμού με ένα πίνακα.


        • Διάλεξη [9B]: Τύπος διαστάσεων Σελίδα
        • Δραστηριότητες 9Β Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 9Β.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 9Β

          • Να γνωρίζετε τη σχέση μεταξύ των διαστάσεων του πεδίου ορισμού, του πυρήνα και της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης και να μπορείτε να τη χρησιμοποιήσετε για να βγάλετε συμπεράσματα για συγκεκριμένες γραμμικές απεικονίσεις μετξύ διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διάστασης.


        • Διάλεξη [9Γ]: Γραμμική απεικόνιση και βάση Σελίδα
        • Δραστηριότητες 9Γ Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 9Γ.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 9Γ

          • Να κατανοείτε οτι μία γραμμική απεικόνιση προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο από τις τιμές της σε μία βάση του πεδίου ορισμού.
          • Πιο συγκεκριμένα, οτι μπορούμε να επιλέξουμε αυθαίρετα διανύσματα που αντιστοιχούν στα στοιχεία μίας βάσης του πεδίου ορισμού και τότε υπάρχει μοναδική γραμμική απεικόνιση που επεκτείνει αυτή την αντιστοιχία.


        • Διάλεξη [9Δ]: Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων. Ισομορφισμοί Σελίδα
        • Δραστηριότητες 9Δ Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 9Δ.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 9Δ

          • Να κατανοείτε οτι η σύνθεση δύο γραμμικών απεικονίσεων είναι γραμμική απεικόνιση.
          • Να γνωρίζετε τι είναι ένας ισομορφισμός μεταξύ διανυσματικών χώρων, και να κατανοείτε οτι ισομορφικοί διανυσματικοί χώροι έχουν τις ίδιες ιδιότητες από τη σκοπιά της Γραμμικής Άλγεβρας.

        • Διάλεξη [9E]: Διανύσματα συντεταγμένων. Θεώρημα δομής Σελίδα
        • Δραστηριότητες 9Ε Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 9Ε.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 9Ε

          • Να γμωρίζετε οτι σε ένα διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης \(n\) στον οποίο έχουμε επιλέξει μία διατεταγμένη βάση, κάθε διάνυσμα αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα συντεταγμένων στο \(\mathbb{K}^n\).
          • Να μπορείτε να βρείτε το διάνυσμα συντεταγμένων ενός διανύσματος ως προς δεδομένη διατεταγμένη βάση.
          • Να γνωρίζετε οτι κάθε διανυσματικός χώρος \(V\) πεπερασμένης διάστασης \(n\) είναι ισομορφικός με τον \(\mathbb{K}^n\), και να κατανοείτε οτι ο ισομορφισμός εξαρτάται από την επιλογή μίας διατεταγμένης βάσης του \(V\).


      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 10

        • Διαφάνειες [10] Αρχείο
        • Διάλεξη [10]: Ευθύ άθροισμα διανυσματικών χώρων Σελίδα
        • Δραστηριότητες 10 Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 10.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 10

          • Να μπορείτε να εξηγήσετε πώς ορίζονται οι πράξεις στο καρτεσιανό γινόμενο \(V\times W\), ώστε να λάβουμε το ευθύ άθροισμα διανυσματικών χώρων \(V \oplus W\).
          • Να γνωρίζετε πώς από δεδομένες βάσεις των διανυσματικών χώρων \(V\) και \(W\) προκύπτει μία βάση του ευθέως αθροίσματος.
          • Να κατανοείτε οτι έαν \(V\) και \(W\) είναι υπόχωροι ενός διανυσματικού χώρου \(U\) και \(V\cap W = \{0\}\), τότε \(V\oplus W\) είναι ισομορφικό με τον υπόχωρο που παράγεται από το \(V\cup W\).


      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 11

        • Διαφάνειες [11Α & 11Β] Αρχείο
        • Διάλεξη [11A]: Διανυσματικός χώρος πηλίκο Σελίδα
        • Δραστηριότητες 11Α Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 11Α.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 11Α

          • Να γνωρίζετε τον ορισμό του διανυσματικού χώρου πηλίκο, και να μπορείτε να περιγράψετε απλά παραδείγματα τέτοιων διανυσματικών χώρων.

        • Διάλεξη [11B]: Θεωρήματα ισομορφισμού Σελίδα
        • Δραστηριότητες 11Β Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 11Β.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 11Β

          • Να μπορείτε να βρείτε μία βάση του χώρου πηλίκο, και να υπολογίστε τη διάστασή του.
          • Να κατανοείτε τι χρειάζεται να ελέγξετε για να διαπιστώσετε οτι μία απεικόνιση είναι "καλά ορισμένη" στο χώρο πηλίκο.
          • Να γνωρίζετε τα θεωρήματα ισομορφισμού.

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 12

        • Διαφάνειες [12Α & 12Β & 12Γ] Αρχείο
        • Διάλεξη [12A]: Ο δυϊκός διανυσματικός χώρος Σελίδα
        • Δραστηριότητες 12Α Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 12Α.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 12Α

          • Να γνωρίζετε τί είναι ο δυϊκός χώρος ενός διανυσματικού χώρου.

        • Διάλεξη [12B]: Δυϊκές απεικονίσεις Σελίδα
        • Δραστηριότητες 12Β Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις της Διάλεξης 12Β.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 12Β

          • Να μπορείτε να περιγράψετε πώς ορίζεται η δυϊκή απεικόνιση μίας γραμμικής απεικόνισης.
        • Διάλεξη [12Γ]: Ο διπλός δυϊκός χώρος Σελίδα

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 12Γ

          • Να μπορείτε να περιγράψετε το διπλό δυϊκό χώρο, και τον κανονικό ισομορφισμό από ένα διανυσματικό χώρο στο διπλό δυϊκό του.

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 13

        • Διαφάνειες [13Α & 13Β & 13Γ] Αρχείο
        • Διάλεξη [13A]: Πίνακες στο σώμα K Σελίδα

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 13Α

          • Στους πίνακες με συνιστώσες στο σώμα \(\mathbb{K}\) ορίζονται οι πράξεις όπως και σε πίνακες με πραγματικές συνιστώσες.
          • Κάθε γραμμική απεικόνιση \(\mathbb{K}^n \longrightarrow \mathbb{K}^m\) αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό με ένα \(m\times n\) πίνακα με συνιστώσες στο \(\mathbb{K}\).
        • Διάλεξη [13B]: Ο πίνακας μίας γραμμικής απεικόνισης Σελίδα
        • Διάλεξη [13Γ]: Πίνακες και γραμμικές απεικονίσεις Σελίδα
        • Δραστηριότητες 13Α, 13Β και 13Γ Σελίδα

          Εργαστείτε σε αυτές τις δραστηριότητες, ανατρέχοντας όταν χρειάζεται στις διαφάνειες ή τις σημειώσεις των Διαλέξεων 13Α, 13Β και 13Γ.

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τις Διαλέξεις 13Β και 13Γ

          • Εάν επιλέξουμε βάσεις των διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διάστασης \(V\) και  \(W\) πάνω από το \(\mathbb{K}\), τότε κάθε γραμμική απεικόνιση \(L: \,V \longrightarrow W\) αντιστοιχεί σε έναν  \(m\times n\) πίνακα με συνιστώσες στο \(\mathbb{K}\).
          • Ο πίνακας που αντιστοιχεί στη σύνθεση \(M\circ L\) είναι το γινόμενο των πινάκων που αντιστοιχούν στην \(M\) και στην \(L\), ως προς τις ίδιες βάσεις.
          • Ο πίνακας που αντιστοιχεί στη δυϊκή απεικόνιση \(L'\) ως προς τις δυϊκές βάσεις των \(W'\) και \(V'\) είναι ο ανάστροφος του πίνακα που αντιστοιχεί στην \(L\) ως προς τις βάσεις των \(V\) και  \(W\).

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 14

        • Διαφάνειες [14] Αρχείο
        • Διάλεξη [14]: Αλλαγή βάσης Σελίδα
        • Δραστηριότητες [14] Αρχείο

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τις Διαλέξεις 13Β και 13Γ

          • Εάν επιλέξουμε βάσεις των διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διάστασης \(V\) και  \(W\) πάνω από το \(\mathbb{K}\), τότε κάθε γραμμική απεικόνιση \(L: \,V \longrightarrow W\) αντιστοιχεί σε έναν  \(m\times n\) πίνακα με συνιστώσες στο \(\mathbb{K}\).
          • Ο πίνακας που αντιστοιχεί στη σύνθεση \(M\circ L\) είναι το γινόμενο των πινάκων που αντιστοιχούν στην \(M\) και στην \(L\), ως προς τις ίδιες βάσεις.
          • Ο πίνακας που αντιστοιχεί στη δυϊκή απεικόνιση \(L'\) ως προς τις δυϊκές βάσεις των \(W'\) και \(V'\) είναι ο ανάστροφος του πίνακα που αντιστοιχεί στην \(L\) ως προς τις βάσεις των \(V\) και  \(W\).


      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 15

        • Διαφάνειες [15Α & 15Β] Αρχείο
        • Διάλεξη [15A]: Αναλλοίωτοι υπόχωροι, ιδιόχωροι Σελίδα
        • Δραστηριότητες [15Α] Αρχείο

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 15Α

          • Να κατανοείτε πότε ένας πόχωρος το διανυσματικού χώρου \(V\) είναι αναλλοίωτος από τον τελεστή \(L:\,V\longrightarrow V\).
          • Να κατανοείτε τι είναι ιδιοτιμή ενός τελεστή, και να αναγνωρίζετε παραδείγματα ιδιοδιανυσμάτων για τελεστές στους χώρους \(\mathbb{R}^n\), και σε άλλους χώρος πεπερασμένης ή άπειρης διάστασης.
          • Να κατανοείτε οτι συζυγείς τελεστές έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές.
          • Να κατανοείτε γιατί σε έναν χώρο πεπερασμένης διάστασης \(n\) δεν μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από \(n\) ιδιοτιμές.


        • Διάλεξη [15B]: Ύπαρξη ιδιοτιμών Σελίδα
        • Δραστηριότητες [15B] Αρχείο

        • Τι πρέπει να γνωρίζετε και να μπορείτε να κάνετε όταν έχετε μελετήσει τη Διάλεξη 15Β

          • Να κατανοείτε οτι μπορούμε να αντικαταστήσουμε έναν τελεστή στη θέση της μεταβλητής ενός πολυωνύμου, και να λάβουμε έναν νέο τελεστή στον ίδιο διανυσματικό χώρο.
          • Να γνωρίζετε οτι κάθε τελεστής σε ένα μιγαδικό διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης έχει τουλάχιστον μία ιδιοτιμή.
          • Να μπορείτε να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τους ιδιόχωρους ενός τελεστή, χρησιμοποιώντας τον πίνακα που παριστάνει τον τελεστή ως προς δεδομένη βάση.

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 16

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 17

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 18

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 19

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 20

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 21

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 22

      • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

        ΔΙΑΛΕΞΗ 23