1. Επαληθεύστε οτι κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός έχει αντίστροφο: Εάν \(a+\mathrm{i} b \neq 0\), βρείτε \(c\) και \(d\) τέτοια ώστε \((a+\mathrm{i} b)(c+\mathrm{i} d) = 1 + \mathrm{i}0\).

2. Βρείτε το αντίθετο και το αντίστροφο του αριθμού \(2+3\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})\). Βεβαιωθείτε οτι ανήκουν στο σύνολο \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\).

3. Βρείτε το αντίθετο και το αντίστροφο του "αριθμού" \(2_3 \in \mathbb{Z}_3\).

4. Ελέγξτε οτι \(1_3 + 2_3 = 2_3 + 1_3\) και οτι \(2_3(1_3+2_3) = 2_3 1_3 + 2_3 2_3\).
Μπορείτε να αποδείξετε οτι η αντιμεταθετική και η επιμεριστική ιδιότητα ισχύουν για οποιαδήποτε στοιχεία του \(\mathbb{Z}_3\);

5. Δείξτε οτι σε ένα αλγεβρικό σώμα \((-a)b = -(ab)\), δηλαδή οτι το γινόμενο του αντίθετου του \(a\) και του \(b\) είναι ίσο με το αντίθετο του \(ab\), ακολουθώντας τη μέθοδο των σημειώσεων, δηλαδή χρησιμοποιώντας τον ορισμό του αντιθέτου και την επιμεριστική ιδιότητα.
Εναλλακτικά, μπορείτε να αποδείξετε οτι \((-a)b = -(ab)\) χρησιμοποιώντας την ιδιότητα που έχει ήδη αποδειχθεί, \(a(-b) = -(ab)\), και την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

Τελευταία τροποποίηση: Σάββατο, 6 Φεβρουαρίου 2016, 6:38 AM