Δραστηριότητες 2
1. Ισχυριστήκαμε οτι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), το οποίο συμβολίζουμε \(C^0(\mathbb{R})\) είναι διανυσματικό χώρος, με πράξεις κατά σημείο.
- Εάν \(f(x)=3x-5\) και \(g(x)=2e^{x^2}\sin x\), ποιά συνάρτηση είναι το "άθροισμα'' \(f \dotplus g\); Eίναι αυτή η συνάρτηση συνεχής; Είναι στοιχείο του \(C^0(\mathbb{R})\);
- Ποιά συνάρτηση είναι το "άθροισμα'' \(g \dotplus f\); Ελέγξτε οτι σε αυτή την περίπτωση επαληθεύεται το αξίωμα ΔΧ.1.
- Ποιά είναι η συνάρτηση \(h:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) για την οποία ισχύει \(f(x) + h(x) = f(x)\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\); Εάν \(k:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) είναι οποιαδήποτε συνάρτηση στο \(C^0(\mathbb{R})\), ισχύει \(k(x) + h(x) = k(x)\)για κάθε \(x \in \mathbb{R}\); Μπορείτε να συμπεράνετε οτι \(k \dotplus h = k\) για οποιαδήποτε συνάρτηση \(k\);
- Ποιά συνάρτηση είναι το μηδενικό διάνυσμα στο \(C^0(\mathbb{R})\) η οποία ικανοποιεί το αξίωμα ΔΧ.3;
- Με τις ίδιες συναρτήσεις \(f\) και \(g\), ποιά συνάρτηση είναι το "πολλαπλάσιο'' \(3\cdot f\), ποιά η \(5\cdot(3\cdot f)\) και ποιά η \(15\cdot f\); Ελέγξτε οτι σε αυτή την περίπτωση επαληθεύεται το αξίωμα ΔΧ.5.
Προσέξτε οτι για τον ορισμό του διανυσματικού χώρου των συναρτήσεων, δεν μας ενδιαφέρει το γινόμενο δύο συναρτήσεων, αλλά μόνο ο πολλαπλασιαμός συνάρτησης με αριθμό.
2. Το σύνολο \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών είναι διανυσματικός χώρος πάνω από το σώμα \(\mathbb{Q}\) των ρητών αριθμών, με τις συνηθισμένες πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Πράγματι, όταν προσθέσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς παίρνουμε έναν πραγματικό αριθμό, ενώ όταν πολλαπλασιάσουμε έναν πραγματικό αριθμό με ένα ρητό παίρνουμε πραγματικό αριθμό.
Γράψτε τα αξιώματα ΔΧ1 - ΔΧ8 για το διανυσματικό χώρο \(\mathbb{R}\) πάνω από το σώμα \(\mathbb{Q}\), χρησιμοποιώντας τα γράμματα \(x,\,y,\,z\) για τα "διανύσματα'' και τα γράμματα \(p,\,q\) για τους "αριθμούς''.
Γιατί δεν είναι οι ρητοί αριθμοί διανυσματικός χώρος πάνω από το σώμα των πραγματικών;