1. Θεωρούμε το σύνολο \(\mathbb{R}[x]\) των πολυωνύμων ως διανυσματικό χώρο πάνω από το \(\mathbb{R}\), με πράξεις \(\dotplus\) και \(\cdot\). Δίδονται τα πολυώνυμα \(p,\,q \in \mathbb{R} [x]\), \(p(x) = 3x^2 - 2x\) και \(q(x)=2x^3+x-5\).
  1. Βρείτε τα πολυώνυμα \(p\dotplus q\), \(2\cdot p\) και \((3\cdot p) \dotplus (1/\sqrt{2} \cdot q)\).
  2. Βρείτε πολυώνυμα \(r,\,s \in \mathbb{R} [x]\) τέτοια ώστε \(p = 3\cdot r\) και \(q = 2\cdot p \dotplus s\)
Προσέξτε οτι για τον ορισμό του διανυσματικού χώρου των πολυωνύμων, δεν μας ενδιαφέρει το γινόμενο δύο πολυωνύμων, αλλά μόνο ο πολλαπλασιαμός πολυωνύμου με αριθμό.

2. Θεωρούμε το σύνολο \(\mathbb{R}^\infty\) των ακολουθιών ως διανυσματικό χώρο πάνω από το \(\mathbb{R}\), με πράξεις \(\dotplus\) και \(\cdot\). Δίδονται οι ακολουθίες \((a),\,(b) \in\mathbb{R}^\infty\), \(a_n = 3n^2\) και \(b_n=2n+1\).
  1. Βρείτε τις ακολουθίες \((a)\dotplus (b\), \(\sqrt{2}\cdot (b)\) και \(1/3\cdot (a) \dotplus 3 \cdot (b)\).
  2. Βρείτε ακολουθίες \((c),\,(d) \in\mathbb{R}^\infty \) τέτοιες ώστε \((a) = 2\cdot (c)\) και \((b) = 1/3 \cdot (a) \dotplus 2 \cdot (d)\).
3. Θεωρούμε το σύνολο \(X = \{a,\,b,\,c\}\) και το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το \(X\) στο σώμα των ρητών αριθμών, δηλαδή το σύνολο \(\mathbb{Q}^X\), ως διανυσματικό χώρο πάνω από το \(\mathbb{Q}\) με πράξεις \(\dotplus\) και \(\cdot\).
  1. Γράψτε δύο παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων \(f\) και \(g\), δηλαδή ορίστε τις τιμές της \(f\) και της \(g\) στα στοιχεία \(a,\,b,\,c\) του συνόλου \(X\).
  2. Υπολογίστε τα "διανύσματα'' \(f \dotplus g\), \(2\cdot f\) και \(3\cdot f \dotplus 2 \cdot g\).
  3. Βρείτε "διάνυσμα'' \(h\) τέτοιο ώστε \(g \dotplus 2 \cdot h = 3 \cdot f\).

Last modified: Saturday, 6 February 2016, 7:55 AM