1. Θεωρούμε το υποσύνολο \(X\) του \(\mathbb{R}^3\) που ορίζεται ως \(X = \{(x,\,y,\,z) \,:\, x-2y+3z=0\}\).
1. Βρείτε δύο διανύσματα που ανήκουν στο \(X\) και ελέγξτε οτι το άθροισμα τους επίσης ανήκει στο \(X\).
2. Αποδείξτε οτι το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε διανυσμάτων που ανήκουν στο \(X\) είναι επίσης στοιχείο του \(X\).
3. Δείξτε οτι το πολλαπλάσιο οποιουδήποτε διανύσματος που ανήκει στο \(X\) με οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό είναι επίσης στοιχείο του \(X\).
4. Είναι το υποσύνολο \(X\) γραμμικός υπόχωρος του \(\mathbb{R}^3\)?

2. Στο διανυσματικό χώρο \(C^0(\mathbb{R})\) όλων των συνεχών συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς, θεωρούμε το υποσύνολο των συναρτήσεων που είναι ίσες με 0 όταν \(x = 2\), δηλαδή το σύνολο \(V = \{ f \in C^0(\mathbb{R}) \,:\, f(2) = 0\}\).
1. Δείξτε οτι το άθροισμα δύο συναρτήσεων που ανήκουν στο \(V\) είναι επίσης στοιχείο του \(V\).
2. Δείξτε οτι το πολλαπλάσιο μίας συνάρτησης που ανήκει στο \(V\) με οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό είναι επίσης στοιχείο του \(V\).
3. Είναι το υποσύνολο \(V\) γραμμικός υπόχωρος του \(C^0(\mathbb{R})\)?

3. Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο \(C^0(\mathbb{R})\) όλων των συνεχών συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς και έναν αριθμό \(a \in \mathbb{R}\). Ορίζουμε το υποσύνολο \(W\) των συναρτήσεων που είναι ίσες με 1 όταν \(x = a\), δηλαδή το \(W = \{ f \in C^0(\mathbb{R}) \,:\, f(a) = 1\}\).
1. Εξετάστε εάν το άθροισμα δύο συναρτήσεων που ανήκουν στο \(W\) είναι επίσης στοιχείο του \(W\).
2. Είναι το υποσύνολο \(W\) γραμμικός υπόχωρος του \(C^0(\mathbb{R})\)?

4. Στο διανυσματικό χώρο \(\mathbb{R}[x]\) όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές θεωρούμε το υποσύνολο \(Y\) των πολυωνύμων που διαιρούνται με το \(x^2+1\): το πολυώνυμο \(p\) ανήκει στο \(Y\) εάν υπάρχει ένα πολυώνυμο \(q\) τέτοιο ώστε \(p(x) = q(x)(x^2 +1)\)
1. Βρείτε δύο παραδείγματα πολυωνύμων του \(Y\). (Αρκεί να πολλαπλασιάσετε δύο διαφορετικά πολυώνυμα με \(x^2+1\).)
2. Εξετάστε εάν το άθροισμα δύο πολυωνύμων που ανήκουν στο \(Y\) είναι επίσης στοιχείο του \(Y\).
3. Είναι το υποσύνολο \(Y\) κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό με πραγματικό αριθμό?
4. Είναι το υποσύνολο \(Y\) γραμμικός υπόχωρος του \(\mathbb{R}[x]\)?

Τελευταία τροποποίηση: Κυριακή, 14 Φεβρουαρίου 2016, 6:04 PM