Δραστηριότητες 5Β
1. Θεωρούμε δύο διανύσματα \(u\) και \(v\) στο διανυσματικό χώρο \(V\). Δείξτε οτι
\[ \langle u \rangle + \langle v \rangle = \langle u,\,v \rangle \,,\]
δηλαδή οτι το άθροισμα του υπόχωρου που παράγεται από το \(\{u\}\) και του υπόχωρου που παράγεται από το \(\{v\}\) είναι ο υπόχωρος που παράγεται από το \(\{u,\,v\}\).
2. Θεωρούμε δύο διανύσματα \(u\) και \(v\) στο διανυσματικό χώρο \(V\) και υποθέτουμε οτι \(v \not\in \langle u \rangle\). Δείξτε οτι
\[ \langle u \rangle \oplus \langle v \rangle = \langle u,\,v \rangle \,,\]
δηλαδή οτι σε αυτή την περίπτωση το άθροισμα είναι ευθύ.
3. Θεωρούμε τα πολυώνυμα \(x^3 +x^2\), \(x^2+1\) και \(x^3+x\) στο \(\mathbb{R}[x]\).
\[ \langle u \rangle + \langle v \rangle = \langle u,\,v \rangle \,,\]
δηλαδή οτι το άθροισμα του υπόχωρου που παράγεται από το \(\{u\}\) και του υπόχωρου που παράγεται από το \(\{v\}\) είναι ο υπόχωρος που παράγεται από το \(\{u,\,v\}\).
2. Θεωρούμε δύο διανύσματα \(u\) και \(v\) στο διανυσματικό χώρο \(V\) και υποθέτουμε οτι \(v \not\in \langle u \rangle\). Δείξτε οτι
\[ \langle u \rangle \oplus \langle v \rangle = \langle u,\,v \rangle \,,\]
δηλαδή οτι σε αυτή την περίπτωση το άθροισμα είναι ευθύ.
3. Θεωρούμε τα πολυώνυμα \(x^3 +x^2\), \(x^2+1\) και \(x^3+x\) στο \(\mathbb{R}[x]\).
1.
Γράψτε ένα μη μηδενικό πολυώνυμο που ανήκει στο \(\langle x^2+1,\,x^3 +
x \rangle\) και ελέγξτε οτι δεν ανήκει στο \(\langle x^3+x^2 \rangle\).
2. Δείξτε οτι
\[\langle x^3+x^2 \rangle \cap \langle x^2+1,\,x^3 + x \rangle = \{0\}\,.\]
3. Είναι το άθροισμα των \(\langle x^3+x^2 \rangle\) και \(\langle x^2+1,\,x^3 + x \rangle\) ευθύ;
2. Δείξτε οτι
\[\langle x^3+x^2 \rangle \cap \langle x^2+1,\,x^3 + x \rangle = \{0\}\,.\]
3. Είναι το άθροισμα των \(\langle x^3+x^2 \rangle\) και \(\langle x^2+1,\,x^3 + x \rangle\) ευθύ;
Τελευταία τροποποίηση: Κυριακή, 21 Φεβρουαρίου 2016, 7:20 AM