1. Δείξτε οτι δύο διανύσματα στο \(\mathbb{K}^2\) είναι γραμμικά εξαρτημένα μόνον όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου με στοιχείο του \(\mathbb{K}\).

2. Δείξτε οτι τα διανύσματα \(\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{r}-1\\2\\1\end{array}\right]\) και \(\left[\begin{array}{r}-1\\6\\5\end{array}\right]\) είναι γραμμικά εξαρτημένα:
1. Εκφράστε ένα από τα διανύσμaτα ως γραμμικό συνδυασμό των άλλων δύο.
2. Βρείτε αριθμούς \(a,\,b,\,c\) που να μην είναι όλοι μηδέν, τέτοιους ώστε
\[a\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right] +b\left[\begin{array}{r}-1\\2\\1\end{array}\right] +c\left[\begin{array}{r}-1\\6\\5\end{array}\right]= 0\,.\]

2. Θεωρούμε τα πολυώνυμα \(x^3 +x^2\), \(x^2+1\) και \(2x^3-2\) στο \(\mathbb{R}[x]\).
1. Εκφράστε ένα από τα πολυώνυμα ως γραμμικό συνδυασμό των άλλων δύο.
2. Βρείτε αριθμούς \(a,\,b,\,c\) που να μην είναι όλοι μηδέν, τέτοιους ώστε
\[ a(x^3 +x^2) +b(x^2+1) + c(2x^3-2) = 0\,.\]

3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς \(2-i 3\) και \(2+i 3\) ως διανύσματα του μιγαδικού διανυσματικού χώρου \(\mathbb{C}\). Είναι αυτά τα διανύσματα γραμμικά εξαρτημένα;
Εάν θεωρήσουμε τους ίδιους αριθμούς ως διανύσματα στο διανυσματικό χώρο \(\mathbb{C}_{\mathbb{R}}\) πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς, είναι γραμμικά εξαρτημένα;
Last modified: Sunday, 21 February 2016, 7:15 AM