EM211-OC: Δραστηριότητες 6A

1. Δείξτε οτι δύο διανύσματα στο

$\mathbb{K}^2$ είναι γραμμικά εξαρτημένα μόνον όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου με στοιχείο του

$\mathbb{K}$ .

2. Δείξτε οτι τα διανύσματα

$\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right]$ ,

$\left[\begin{array}{r}-1\\2\\1\end{array}\right]$ και

$\left[\begin{array}{r}-1\\6\\5\end{array}\right]$ είναι γραμμικά εξαρτημένα:

1. Εκφράστε ένα από τα διανύσμaτα ως γραμμικό συνδυασμό των άλλων δύο.
2. Βρείτε αριθμούς

$a,\,b,\,c$ που να μην είναι όλοι μηδέν, τέτοιους ώστε

$a\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right] +b\left[\begin{array}{r}-1\\2\\1\end{array}\right] +c\left[\begin{array}{r}-1\\6\\5\end{array}\right]= 0\,.$

2. Θεωρούμε τα πολυώνυμα

$x^3 +x^2$ ,

$x^2+1$ και

$2x^3-2$ στο

$\mathbb{R}[x]$ .

1. Εκφράστε ένα από τα πολυώνυμα ως γραμμικό συνδυασμό των άλλων δύο.
2. Βρείτε αριθμούς

$a,\,b,\,c$ που να μην είναι όλοι μηδέν, τέτοιους ώστε

$a(x^3 +x^2) +b(x^2+1) + c(2x^3-2) = 0\,.$

3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς

$2-i 3$ και

$2+i 3$ ως διανύσματα του μιγαδικού διανυσματικού χώρου

$\mathbb{C}$ . Είναι αυτά τα διανύσματα γραμμικά εξαρτημένα;
Εάν θεωρήσουμε τους ίδιους αριθμούς ως διανύσματα στο διανυσματικό χώρο

$\mathbb{C}_{\mathbb{R}}$ πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς, είναι γραμμικά εξαρτημένα;

Last modified: Sunday, 21 February 2016, 7:15 AM