1. Ελέγξτε εάν τα διανύσματα \(\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{r}-1\\2\\1\end{array}\right]\) και \(\left[\begin{array}{r}-1\\6\\2\end{array}\right]\) είναι γραμμικά ανεξάρτητα:
1. Προσπαθήστε να εκφράσετε ένα από τα διανύσμaτα ως γραμμικό συνδυασμό των άλλων δύο.
2. Δείξτε οτι οι μόνοι αριθμοί \(a,\,b,\,c\) για τους οποίους ισχύει
\[a\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right] +b\left[\begin{array}{r}-1\\2\\1\end{array}\right] +c\left[\begin{array}{r}-1\\6\\2\end{array}\right]= 0\]
είναι οι \(a=0,\,b=0,\,c=0\).

2. Θεωρούμε τα πολυώνυμα \(x^3 +x^2\), \(x^2+1\) και \(2x^3-x\) στο \(\mathbb{R}[x]\).
1. Προσπαθήστε να εκφράσετε ένα από τα πολυώνυμα ως γραμμικό συνδυασμό των άλλων δύο.
2. Δείξτε οτι οι μόνοι αριθμοί \(a,\,b,\,c\) τέτοιοι ώστε
\[ a(x^3 +x^2) +b(x^2+1) + c(2x^3-x) = 0\]
είναι οι \(a=0,\,b=0,\,c=0\).

3. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς \(2\) και \(\sqrt 2\) ως διανύσματα του διανυσματικού χώρου \(\mathbb{R}_{\mathbb{Q}}\) πάνω από το σώμα των ρητών αριθμών. Είναι αυτά τα διανύσματα γραμμικά ανεξάρτητα;
Εάν θεωρήσουμε τους ίδιους αριθμούς ως διανύσματα στο διανυσματικό χώρο \(\mathbb R\) πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς, είναι γραμμικά ανεξάρτητα;
Τελευταία τροποποίηση: Κυριακή, 21 Φεβρουαρίου 2016, 7:37 AM