Section outline

  • Μιγαδικοί αριθμοί
    • Τι είναι μιγαδικοί αριθμοί - τι μαθηματικό κενό καλύπτουν
    • To i
    • Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικού
    • Πολική αναπαράσταση μιγαδικού, μέτρο, όρισμα, πρωτεύον όρισμα, τύπος Euler
    • Στοιχειώδεις πράξεις με μιγαδικούς - γεωμετρική τους αναπαράσταση
    • Συζυγής μιγαδικού, αναπαράστασή του, ιδιότητές του
    • Θεώρημα de Moivre και εφαρμογές του.
    Συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητης
    • Απλές συναρτήσεις (εκθετικά, δυνάμεις, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, υπερβολικές συναρτήσεις) και ιδιότητές τους
    • Πλειότιμες συναρτήσεις (ρίζες, λογάριθμος). Σημεία διακλάδωσης, τομές και μονοσημαντοποίηση πλειότιμων συναρτήσεων
    • Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης: Ορισμός, συνθήκες Cauchy-Riemann, συνθήκες ύπαρξης παραγώγου, υπολογισμός παραγώγου
    • Αναλυτικές συναρτήσεις, ομαλά και ανώμαλα σημεία μιγαδικής συνάρτησης, ταξινόμηση ανώμαλων σημείων [απομονωμένη ανωμαλία (πόλος, ουσιώδης ανωμαλία, αιρόμενη ανωμαλία) και μη απομονωμένη (π.χ. σημείο διακλάδωσης)]
    • Ανάπτυξη μιγαδικών συναρτήσεων σε σειρά Taylor
    • Ολοκλήρωμα μιγαδικής συνάρτησης: Γενικός τρόπος υπολογισμού (αναγωγή του ολοκληρώματος σε ολοκλήρωμα μίας πραγματικής μεταβλητής), θεώρημα Cauchy, ιδιότητες μιγαδικών ολοκληρωμάτων, τύπος Cauchy για τη συνάρτηση και την παράγωγό της (ή ολοκληρωτική αναπαράσταση συνάρτησης),
    • Ολοκληρωτικό υπόλοιπο συνάρτησης. Θεώρημα των υπολοίπων. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων μιγαδικών συναρτήσεων με χρήση του θεωρήματος των υπολοίπων. Υπολογισμός πραγματικών ολοκληρωμάτων με χρήση του θεωρήματος των υπολοίπων:
      α) Ολοκληρώματα από 0-->2π ρητών συναρτήσεων ημιτόνων και συνημιτόνων. 
      β) Ολοκληρώματα από -οο --> οο κάποιων πραγματικών συναρτήσεων (όχι πλειότιμων), με χρήση μιγαδικής ολοκλήρωσης και Λήμματος Jordan. Τί κάνουμε αν η συνάρτηση έχει πόλο στον πραγματικό άξονα και τι λέμε κύρια τιμή ολοκληρώματος.
    • Σειρές Laurant.
    • Συνάρτηση Γ (ορισμός μόνο).