Section outline

  • Διανυσματικοί χώροι
    • Τι είναι διανυσματικοί χώροι - ιδιότητές τους.
    • Ο R3: Εσωτερικό γινόμενο. Μέτρο διανύσματος, ορθογώνια και ορθοκανονικά διανύσματα.
    • Διανυσματικοί χώροι περισσότερων από τρεις διαστάσεις (Rn, μιγαδικοί χώροι, χώροι συναρτήσεων).
    • Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων. Βάση διανυσματικού χώρου. Διάσταση διανυσματικού χώρου. Συνιστώσες διανύσματος ως προς βάση.
    • Εσωτερικό γινόμενο. Μέτρο διανύσματος. Ορθογώνια και ορθοκανονικά διανύσματα. Ανισότητα Cauchy-Schwarz.
    • Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt.
    Τελεστές και πίνακες
    • Γραμμικές απεικονίσεις διανυσμάτων (τελεστές) και ιδιότητές τους.
    • Πίνακες (ως αναπαραστάσεις τελεστών).
    • Πράξεις πινάκων και ιδιότητές τους: Πρόσθεση, πολλαπλασιασμός με αριθμό, πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα, πολλαπλασιασμός πινάκων. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ως γινόμενο πίνακα γραμμής με πίνακα στήλης.
    • Ειδικοί πίνακες: Ταυτοτικός (μοναδιαίος), διαγώνιος, μηδενικός, συμμετρικός, διαγώνιος, άνω τριγωνικός, κάτω τριγωνικός.
    • Χρήσιμοι πίνακες: Συζυγής, ανάστροφος, ερμιτιανός συζυγής (ή προσαρτημένος) και αντίστροφος πίνακα. Μοναδιακός και ορθογώνιος πίνακας.
    • Ίχνος πίνακα. Ορίζουσα πίνακα. Υπολογισμός ορίζουσας, ελάσσων ορίζουσα. Ιδιότητες οριζουσών. Υπολογισμός του αντιστρόφου ενός πίνακα. Τάξη πίνακα, ιδιόμορφος πίνακας. Ορίζουσα μοναδιακού και ορθογώνιου πίνακα.
    Γραμμικά συστήματα εξισώσεων
    • Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων:
      • Μέθοδος αντικατάστασης
      • Μέθοδος ευθείας αντιστροφής
      • Μέθοδος Cramer ή οριζουσών
      • Απαλοιφή Gauss
      • Τριγωνική (ή LU) παραγοντοποίηση
    • Συνθήκες επιλυσιμότητας γραμμικών συστημάτων.
    • Ομογενή γραμμικά συστήματα.
    Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων
    • Ορισμός και υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων.
    • Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα (ορισμός).
    • Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πίνακα διαγώνιου, τριγωνικού, ερμιτιανού, κανονικού και μοναδιακού
    • Συνθήκες γραμμικής ανεξαρτησίας ιδιοδιανυσμάτων.
    • Μετασχηματισμός ομοιότητας (ορισμός) και διαγωνιοποίση πίνακα μέσω μετασχηματισμού ομοιότητας, με πίνακα μετασχηματισμού τον πίνακα των ιδιοδιανυσμάτων.
    • Χρήση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου για τον υπολογισμό του αντιστρόφου ή δυνάμεων πινάκων.