Section outline

  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Γενικά

    Σύμπτυξη όλων Ανάπτυξη όλων
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 1

    • Λέξεις - Κλειδιά: Επεκτάσεις σωμάτων, Διοφαντικές Εξισώσεις, Αριθμητική Γεωμερία.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης

      • Εισαγωγή στο μάθημα.
      • Ερωτήματα στα οποία θα δωθούν απαντήσεις.
      • Επίληση διοφαντικών εξισώσεων στο \( \mathbb{Z}\) και στο \(\mathbb{Q}\) .
    • Βίντεο διάλεξης 1 Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 2

    • Λέξεις - Κλειδιά: Διοφαντικές εξισώσεις.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Συνέχεια της προηγούμενης διάλεξης.
      • Πιθαγόριες τριάδες.
      • Η εικασία του Fermat, απόδειξη για Ν=4.

    • Βίντεο διάλεξης 2 Σελίδα
    • Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Αρχείο
    • Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 1 Αρχείο
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 3

    • Λέξεις - Κλειδιά: Διοφαντικές εξισώσεις, αλγεβρική καμπύλη, γένος αυτής, p-αδικοί ακέραιοι.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Γενικές παρατηρήσεις της επίλυσης διοφαντικών εξισώσεων και των δυσκολιών που παρουσιάζονται.
      • Ταξινόμηση αυτών ως πρός το γένος τους.
      • Ισοτιμίες modulo δυνάμεις πρώτων αριθμών.

    • Βίντεο διάλεξης 3 Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 4

    • Λέξεις - Κλειδιά: p-αδικοί ακέραιοι, p-αδικές εκτιμήσεις, p-norm, αξίωμα του Αρχιμήδη.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Δομή του συνόλου των p-αδικών αριθμών, πράξεις και ιδιότητες αυτών.
      • Το σώμα των p-αδικών αριθμών.
      • Εκτιμήσεις αρχιμήδειες και μη-αρχιμήδειες.

    • Βίντεο διάλεξης 4 Σελίδα
    • Φυλλάδιο Ασκήσεων 2 Αρχείο
    • Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 2 Αρχείο
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 5

    • Λέξεις - Κλειδιά: Ακολουθίες Cauchy, πληρότητα ως προς μία εκτίμηση.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Το σώμα των πραγματικών αριθμών \(\mathbb{R}\) και τα p-αδικά σώματα \(\mathbb{Q}_{p},\;p\in \mathbb{P}\), ομοιότητες και διαφορές.
      • Το θεώρημα του Ostrowski και ο τύπος του γινομένου (The produce of formula).
      • Το γενικό - τοπικό αξίωμα.
      • Ιστορικά στοιχεία.

    • Βίντεο διάλεξης 5 Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 6

    • Λέξεις - Κλειδιά: Προβολικά και αντίστροφα όρια, ρίζες πολυωνύμων του \(\mathbb{Z}_{p}\), τετραγωνικές μορφές.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Ρίζες πολυωνύμων του \(\mathbb{Z}_{p}\).
      • Λήμμα του Hensel. 
      • Tο πολυώνυμο του Νεύτωνα.
      • Tετραγωνικές μορφές.
      • Θεώρημα των Hasse-Minkowski.

    • Βίντεο διάλεξης 6 Σελίδα
    • Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρχείο
    • Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 3 Αρχείο
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 7

    • Λέξεις - Κλειδιά: Τοπικό-γενικό αξίωμα, p-αδικοί αριθμοί, επιλυσιμότητα στα \(\mathbb{Q}_{p},\;p\in \mathbb{P}\).

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Επίλυση της εξίσωσης \(ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0\).
      • Θεώρημα των Cheralley-Warning.
      • Λήμμα του Hensel (ισχυρή μορφή).

    • Βίντεο διάλεξης 7 Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 8

    • Λέξεις - Κλειδιά: Τετραγωνικές ισοτιμίες, τετραγωνικά υπόλοιπα, σύμβολο Legendre, γεωμετρία των αριθμών.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Συνέχεια της μελέτης της επιλυσιμότητας εξισώσεων στα p-αδικά σώματα \(\mathbb{Q}_{p}\).
      • Παραδείγματα.
      • Θεώρημα του Cassels.

    • Βίντεο διάλεξης 8 Σελίδα
    • Φυλλάδιο Ασκήσεων 4 Αρχείο
    • Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 4 Αρχείο
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 9

    • Λέξεις - Κλειδιά: Τετραγωνικές μορφές, διγραμμικές μορφές, διαγωνιοποίηση.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων στο \(\mathbb{Q}_{p}\) 
      • Στοιχεία θεωρίας τετραγωνικών μορφών.
      • Παράσταση στοιχείων από τετραγωνική μορφή.

    • Βίντεο διάλεξης 9 Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 10

    • Λέξεις - Κλειδιά: Ευκλείδεια περιοχή, περιοχή κύριων ιδεωδών, περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης,πολυώνυμο ανάγωγο, σώμα αλγεβρικά κλειστό, ριζικό ιδεώδους.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Εφαρμογές.
      • Το θεώρημα του Legendre.
      • Το θεώρημα του Gauss ("ΕΥΡΗΚΑ!").
      • Το θεώρημα του Lagrange.
      • Στοιχεία αλγεβρικής γεωμετρίας.
      • Αριθμητική στον Κ[Χ], Κ σώμα.

    • Βίντεο διάλεξης 10 Σελίδα
    • Φυλλάδιο Ασκήσεων 5 Αρχείο
    • Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 5 Αρχείο
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 11

    • Λέξεις - Κλειδιά: Σύνολο ριζών, αλγεβρικά σύνολα, ανάγωγα αλγεβρικά σύνολα, ριζικά ιδεώδη.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Η περιοχή Κ[Χ], ιδιότητες, ιδεώδη, αλγεβρικά σύνολα, ανάγωγα αλγεβρικά σύνολα, ριζικά ιδεώδη.
      • Αντιστοιχία αλγεβρικών υποσυνόλων του \(K^{n}\) και ριζικών ιδεωδών του \(K[X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}]\).
      • "Think geometrically, prove algebraically! J. Silverman. 

    • Βίντεο διάλεξης11 Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 12

    • Λέξεις - Κλειδιά: scheme

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Αντιστοιχία ιδεωδών και αλγεβρικών συνόλων.

    • Βίντεο διάλεξης 12 Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 13

    • Λέξεις - Κλειδιά: Αλγεβρική καμπύλη, ιδιάζοντα σημεία και τάξη αυτών, ανάπτυγμα Taylor, πολλαπλότητα τομής.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Αλγεβρικές καμπύλες και ιδιότητες αυτών.

    • Βίντεο διάλεξης 13 Σελίδα
    • Φυλλάδιο Ασκήσεων 6 Αρχείο
    • Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 6 Αρχείο
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 14

    • Λέξεις - Κλειδιά: Πολλαπλότητα τομής.

    • Περιεχόμενα διάλεξης:

      • Τομή αλγεβρικών καμπύλων.
      • Παραδείγματα.

    • Βίντεο διάλεξης14 Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 15

    • Λέξεις - Κλειδιά: Προβολικός χώρος, προβολική ευθεία, καμπύλη, επίπεδο.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Παραδείγματα υπολογισμού της πολλαπλότητας τομής.
      • Ορισμοί του προβολικού επιπέδου.

    • Βίντεο διάλεξης 15 Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 16

    • Λέξεις - Κλειδιά: Πολλαπλότητα τομής σε προβολικές καμπύλες.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Πολλαπλότητα τομής προβολικών αλγεβρικών καμπύλων.
      • Θεώρημα του Bezout.
      • Εφαρμογές.

    • Βίντεο διάλεξης 16 Σελίδα
    • Φυλλάδιο Ασκήσεων 7 Αρχείο
    • Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 7 Αρχείο
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 17

    • Λέξεις - Κλειδιά: Ανάγωγη καμπύλη, ιδιάζοντα σημεία, σημεία καμπής.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Το θεώρημα των 9 σημείων.
      • Εφαρμογές.

    • Βίντεο διάλεξης Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 18

    • Λέξεις - Κλειδιά: Μη-ιδιάζουσα κυβική καμπύλη, γένος αλγεβρικής καμπύλης.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Εξίσωση του Weistrass μιας κυβικής καμπύλης.
      • Ρητά σημεία κυβικών καμπύλων.
      • Γεωμετρική πρόσθεση σημείων.
      • Διατύπωση του θεωρήματος Mordell.

    • Βίντεο διάλεξης Σελίδα
    • Φυλλάδιο Ασκήσεων 8 Αρχείο
    • Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 8 Αρχείο
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 19

    • Λέξεις - Κλειδιά: Αλγεβρική ομάδα, προσεταιρισμός, ελλειπτική καμπύλη.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Το σύνολο των ρητών σημείων, αποτελεί αβελιανή ομάδα.
      • Απόδειξη των ιδιοτήτων, ιδιαίτερα του προσεταιρισμού. 

    • Βίντεο διάλεξης Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 20

    • Λέξεις - Κλειδιά: Εφαπτομένη καμπύλης, κλίση ευθείας, σημεία πεπερασμένης μιας ελλειπτικής καμπύλης.

    • Περιεχόμενα διάλεξης:

      • Αναλυτική περιγραφή της πρόσθεσης σημείων.
      • Παραδείγματα και μέθοδοι υπολογισμού.
      • Αναφορά του θεωρήματος των Lutz - Nagell.
      • Απόδειξη των σημαντικών μερών του θεωρήματος.

    • Βίντεο διάλεξης Σελίδα
    • Φυλλάδιο Ασκήσεων 9 Αρχείο
    • Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 9 Αρχείο
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 21

    • Λέξεις - Κλειδιά: Πεπερασμένη παραγόμενη αβελιανή ομάδα, filtvation.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Παραδείγματα υπολογισμού της ομάδας των ρητών σημείων πεπερασμένης τάξης μιας ελλειπτικής καμπύλης.
      • Το θεώρημα του Mordell, ιδέα της απόδειξης.  

    • Βίντεο διάλεξης Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 22

    • Λέξεις - Κλειδιά: Ύψος ενός ρητού σημείου, τυπικός δακτύλιος, rank μίας πεπερασμένα παραγόμενης αβελιανής ομάδας.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Παραδείγματα υπολογισμού του rank της ομάδας των ρητών σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης.
      • Η μέθοδος του Tate.
      • Ελλειπτικές καμπύλες με μεγάλο rank.

    • Βίντεο διάλεξης Σελίδα
  • Σύμπτυξη Ανάπτυξη

    Topic 23

    • Λέξεις - Κλειδιά: Πεπερασμένα σώματα, local - global principle, εικασία του Riemann, ζήτα συνάρτηση, L-σειρά, ισοδύναμοι αριθμοί.

    • Περιεχόμενα Διάλεξης:

      • Ρητά σημεία ελλειπτικής καμπύλης ορισμένης σε πεπερασμένο σώμα.
      • Local global principle.
      • Το θεώρημα του Ηασσε (εικασία Riemann για ελλειπτικές καμπύλες).
      • Εικασία των Birch - Swinnerton Dyer.

    • Βίντεο διάλεξης Σελίδα