Topic outline

  • General

    Collapse all Expand all

  • ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

    Μιγαδικοί αριθμοί
    • Τι είναι μιγαδικοί αριθμοί - τι μαθηματικό κενό καλύπτουν
    • To i
    • Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικού
    • Πολική αναπαράσταση μιγαδικού, μέτρο, όρισμα, πρωτεύον όρισμα, τύπος Euler
    • Στοιχειώδεις πράξεις με μιγαδικούς - γεωμετρική τους αναπαράσταση
    • Συζυγής μιγαδικού, αναπαράστασή του, ιδιότητές του
    • Θεώρημα de Moivre και εφαρμογές του.
    Συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητης
    • Απλές συναρτήσεις (εκθετικά, δυνάμεις, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, υπερβολικές συναρτήσεις) και ιδιότητές τους
    • Πλειότιμες συναρτήσεις (ρίζες, λογάριθμος). Σημεία διακλάδωσης, τομές και μονοσημαντοποίηση πλειότιμων συναρτήσεων
    • Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης: Ορισμός, συνθήκες Cauchy-Riemann, συνθήκες ύπαρξης παραγώγου, υπολογισμός παραγώγου
    • Αναλυτικές συναρτήσεις, ομαλά και ανώμαλα σημεία μιγαδικής συνάρτησης, ταξινόμηση ανώμαλων σημείων [απομονωμένη ανωμαλία (πόλος, ουσιώδης ανωμαλία, αιρόμενη ανωμαλία) και μη απομονωμένη (π.χ. σημείο διακλάδωσης)]
    • Ανάπτυξη μιγαδικών συναρτήσεων σε σειρά Taylor
    • Ολοκλήρωμα μιγαδικής συνάρτησης: Γενικός τρόπος υπολογισμού (αναγωγή του ολοκληρώματος σε ολοκλήρωμα μίας πραγματικής μεταβλητής), θεώρημα Cauchy, ιδιότητες μιγαδικών ολοκληρωμάτων, τύπος Cauchy για τη συνάρτηση και την παράγωγό της (ή ολοκληρωτική αναπαράσταση συνάρτησης),
    • Ολοκληρωτικό υπόλοιπο συνάρτησης. Θεώρημα των υπολοίπων. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων μιγαδικών συναρτήσεων με χρήση του θεωρήματος των υπολοίπων. Υπολογισμός πραγματικών ολοκληρωμάτων με χρήση του θεωρήματος των υπολοίπων:
      α) Ολοκληρώματα από 0-->2π ρητών συναρτήσεων ημιτόνων και συνημιτόνων. 
      β) Ολοκληρώματα από -οο --> οο κάποιων πραγματικών συναρτήσεων (όχι πλειότιμων), με χρήση μιγαδικής ολοκλήρωσης και Λήμματος Jordan. Τί κάνουμε αν η συνάρτηση έχει πόλο στον πραγματικό άξονα και τι λέμε κύρια τιμή ολοκληρώματος.
    • Σειρές Laurant.
    • Συνάρτηση Γ (ορισμός μόνο).

  • ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

    Διανυσματικοί χώροι
    • Τι είναι διανυσματικοί χώροι - ιδιότητές τους.
    • Ο R3: Εσωτερικό γινόμενο. Μέτρο διανύσματος, ορθογώνια και ορθοκανονικά διανύσματα.
    • Διανυσματικοί χώροι περισσότερων από τρεις διαστάσεις (Rn, μιγαδικοί χώροι, χώροι συναρτήσεων).
    • Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων. Βάση διανυσματικού χώρου. Διάσταση διανυσματικού χώρου. Συνιστώσες διανύσματος ως προς βάση.
    • Εσωτερικό γινόμενο. Μέτρο διανύσματος. Ορθογώνια και ορθοκανονικά διανύσματα. Ανισότητα Cauchy-Schwarz.
    • Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt.
    Τελεστές και πίνακες
    • Γραμμικές απεικονίσεις διανυσμάτων (τελεστές) και ιδιότητές τους.
    • Πίνακες (ως αναπαραστάσεις τελεστών).
    • Πράξεις πινάκων και ιδιότητές τους: Πρόσθεση, πολλαπλασιασμός με αριθμό, πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα, πολλαπλασιασμός πινάκων. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ως γινόμενο πίνακα γραμμής με πίνακα στήλης.
    • Ειδικοί πίνακες: Ταυτοτικός (μοναδιαίος), διαγώνιος, μηδενικός, συμμετρικός, διαγώνιος, άνω τριγωνικός, κάτω τριγωνικός.
    • Χρήσιμοι πίνακες: Συζυγής, ανάστροφος, ερμιτιανός συζυγής (ή προσαρτημένος) και αντίστροφος πίνακα. Μοναδιακός και ορθογώνιος πίνακας.
    • Ίχνος πίνακα. Ορίζουσα πίνακα. Υπολογισμός ορίζουσας, ελάσσων ορίζουσα. Ιδιότητες οριζουσών. Υπολογισμός του αντιστρόφου ενός πίνακα. Τάξη πίνακα, ιδιόμορφος πίνακας. Ορίζουσα μοναδιακού και ορθογώνιου πίνακα.
    Γραμμικά συστήματα εξισώσεων
    • Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων:
      • Μέθοδος αντικατάστασης
      • Μέθοδος ευθείας αντιστροφής
      • Μέθοδος Cramer ή οριζουσών
      • Απαλοιφή Gauss
      • Τριγωνική (ή LU) παραγοντοποίηση
    • Συνθήκες επιλυσιμότητας γραμμικών συστημάτων.
    • Ομογενή γραμμικά συστήματα.
    Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων
    • Ορισμός και υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων.
    • Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα (ορισμός).
    • Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πίνακα διαγώνιου, τριγωνικού, ερμιτιανού, κανονικού και μοναδιακού
    • Συνθήκες γραμμικής ανεξαρτησίας ιδιοδιανυσμάτων.
    • Μετασχηματισμός ομοιότητας (ορισμός) και διαγωνιοποίση πίνακα μέσω μετασχηματισμού ομοιότητας, με πίνακα μετασχηματισμού τον πίνακα των ιδιοδιανυσμάτων.
    • Χρήση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου για τον υπολογισμό του αντιστρόφου ή δυνάμεων πινάκων.

  • ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER

    Ανάπτυγμα περιοδικής συνάρτησης σε σειρά Fourier και συνθήκες ύπαρξής του. Περιοδική επέκταση συνάρτησης, ανάπτυγμα Fourier ημιτόνου και συνημιτόνου. Σύγκλιση σειρών Fourier. Τύπος Parseval. Μιγαδική αναπαράσταση σειρών Fourier.

    Μετασχηματισμός Fourier, ιδιότητές του, χρήσεις του. Η συνάρτηση δέλτα του Dirac: ορισμός, και ιδιότητές της.


  • ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

    Η έννοια της πιθανότητας
    • Πειράματα τύχης και δειγματοχώροι. Ενδεχόμενα ή γεγονότα. Σύνθετα, στοιχειώδη και ασυμβίβαστα γεγονότα.
    • Ορισμός της πιθανότητας (κλασσικός, στατιστικός και αξιωματικός). Το προσθετικό θεώρημα. Δεσμευμένη πιθανότητα, θεώρημα ολικής πιθανότητας, ανεξαρτησία ενδεχομένων.
    Διατάξεις και συνδυασμοί
    • Βασική αρχή απαρίθμησης.
    • Διατάξεις με και χωρίς επανατοποθέτηση, μεταθέσεις.
    • Συνδυασμοί.
    Τυχαίες μεταβλητές και κατανομές πιθανότητας
    • Διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.
    • Πυκνότητα πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής για συνεχείς και διακριτές μεταβλητές.
    • Μέση τιμή, ροπές, διασπορά και τυπική απόκλιση τυχαίων μεταβλητών.

  • ΑΣΚΗΣΕΙΣ