Άλγεβρα I
Περιγραφή θέματος
-
Περιγραφή του μαθήματος:
Αδρή περιγραφή της ύλης:Στοιχεία διαιρετότητας, ΜΚΔ, ΕΚΠ. Ευκλείδειος αλγόριθμος. Ανάλυση ακεραίου σε πρώτους παράγοντες.
Σχέση ισοδυναμίας. Ισοτιμίες.
Διμελείς πράξεις.
Δακτύλιοι. Αντιστρέψιμα στοιχεία (μονάδες), μηδενοδιαιρέτες. Ακέραιες περιοχές και σώματα.
Θεωρήματα Fermat και Euler. Πώς υπολογίζομε υπόλοιπα διαιρέσεων ακεραίων, όταν ο διαιρετέος είναι δύναμη ακεραίου με μεγάλο εκθέτη.
Πολυώνυμα με συντελεστές από δακτύλιο ή σώμα.
Εξειδίκευση στα πολυώνυμα με συντελεστές από ένα σώμα. Ευκλείδεια διαίρεση, ευκλείδειος αλγόριθμος. Ανάγωγα πολυώνυμα. Ανάλυση πολυωνύμου σε ανάγωγα πολυώνυμα.
Ομάδες, υποομάδες. Παραδείγματα από τις ομάδες μεταθέσεων και τις ομάδες συμμετρίας.
Κυκλικές ομάδες. Τάξη στοιχείου ομάδας.
Σύμπλοκα ως προς υποομάδα. Το θεώρημα του Lagrange.
Ομομορφισμοί και ισομορφισμοί ομάδων. Πυρήνας και εικόνα ομομορφισμού. Το πρώτο θεώρημα ομομορφισμού ομάδων
Βιβλία-Σημειώσεις:
Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, Ο. Ταλέλλη, Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα, εκδόσεις "Σοφία", Αθήνα 2005. Παρακάτω θα αναφέρεται ως "σύγγραμμα 1".
J.B. Fraleigh, Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1994. Παρακάτω θα αναφέρεται ως "σύγγραμμα 2".
Κατά βάση, θα ακολουθήσομε το πρώτο από τα παραπάνω βιβλία επειδή ταιριάζει περισσότερο με τη σειρά παρουσίασης της ύλης, σύμφωνα με την οποία θα προηγηθούν οι δακτύλιοι και τα σώματα και θα ακολουθήσουν οι ομάδες, ενώ στο δεύτερο βιβλίο προηγούνται οι ομάδες και έπονται οι δακτύλιοι και τα σώματα. Μέρος του ύλης θα καλύπτεται από τις σημειώσεις μου, οι οποίες θα αναρτώνται σ' αυτή την ιστοσελίδα.
-
Διαιρετότητα.Η ύλη που διδάχθηκε βρίσκεται στο σύγγραμμα 1, ενότητα 1.2, μέχρι και τις Σημειώσεις της σελίδας 19.
Άσκηση: Αν ο μόνος κοινός θετικός διαιρέτης των a, b είναι ο 1, αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για τους m = 3a + 2b και n = 4a + 3b.
-
Λέξεις κλειδιά: Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ), Ευκλείδιος Αλγόριθμος, Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, κανονική ανάλυση σε πρώτους.