Μάθημα: Θέματα Άλγεβρας (Θεωρία Αριθμών) | OpenCourses-UoC

Περιγραφή θέματος

Γενικά

Σύμπτυξη όλων Ανάπτυξη όλων
Θέμα 1
- Λέξεις - Κλειδιά: Επεκτάσεις σωμάτων, Διοφαντικές Εξισώσεις, Αριθμητική Γεωμερία.
- Περιεχόμενα Διάλεξης
  Εισαγωγή στο μάθημα.
  Ερωτήματα στα οποία θα δωθούν απαντήσεις.
  Επίληση διοφαντικών εξισώσεων στο \( \mathbb{Z}\) και στο \(\mathbb{Q}\) .
- Βίντεο διάλεξης 1 Σελίδα
Θέμα 2
- Λέξεις - Κλειδιά: Διοφαντικές εξισώσεις.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Συνέχεια της προηγούμενης διάλεξης.
  Πιθαγόριες τριάδες.
  Η εικασία του Fermat, απόδειξη για Ν=4.
- Βίντεο διάλεξης 2 Σελίδα
- Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Αρχείο
- Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 1 Αρχείο
Θέμα 3
- Λέξεις - Κλειδιά: Διοφαντικές εξισώσεις, αλγεβρική καμπύλη, γένος αυτής, p-αδικοί ακέραιοι.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Γενικές παρατηρήσεις της επίλυσης διοφαντικών εξισώσεων και των δυσκολιών που παρουσιάζονται.
  Ταξινόμηση αυτών ως πρός το γένος τους.
  Ισοτιμίες modulo δυνάμεις πρώτων αριθμών.
- Βίντεο διάλεξης 3 Σελίδα
Θέμα 4
- Λέξεις - Κλειδιά: p-αδικοί ακέραιοι, p-αδικές εκτιμήσεις, p-norm, αξίωμα του Αρχιμήδη.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Δομή του συνόλου των p-αδικών αριθμών, πράξεις και ιδιότητες αυτών.
  Το σώμα των p-αδικών αριθμών.
  Εκτιμήσεις αρχιμήδειες και μη-αρχιμήδειες.
- Βίντεο διάλεξης 4 Σελίδα
- Φυλλάδιο Ασκήσεων 2 Αρχείο
- Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 2 Αρχείο
Θέμα 5
- Λέξεις - Κλειδιά: Ακολουθίες Cauchy, πληρότητα ως προς μία εκτίμηση.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Το σώμα των πραγματικών αριθμών \(\mathbb{R}\) και τα p-αδικά σώματα \(\mathbb{Q}_{p},\;p\in \mathbb{P}\), ομοιότητες και διαφορές.
  Το θεώρημα του Ostrowski και ο τύπος του γινομένου (The produce of formula).
  Το γενικό - τοπικό αξίωμα.
  Ιστορικά στοιχεία.
- Βίντεο διάλεξης 5 Σελίδα
Θέμα 6
- Λέξεις - Κλειδιά: Προβολικά και αντίστροφα όρια, ρίζες πολυωνύμων του \(\mathbb{Z}_{p}\), τετραγωνικές μορφές.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Ρίζες πολυωνύμων του \(\mathbb{Z}_{p}\).
  Λήμμα του Hensel.
  Tο πολυώνυμο του Νεύτωνα.
  Tετραγωνικές μορφές.
  Θεώρημα των Hasse-Minkowski.
- Βίντεο διάλεξης 6 Σελίδα
- Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρχείο
- Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 3 Αρχείο
Θέμα 7
- Λέξεις - Κλειδιά: Τοπικό-γενικό αξίωμα, p-αδικοί αριθμοί, επιλυσιμότητα στα \(\mathbb{Q}_{p},\;p\in \mathbb{P}\).
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Επίλυση της εξίσωσης \(ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0\).
  Θεώρημα των Cheralley-Warning.
  Λήμμα του Hensel (ισχυρή μορφή).
- Βίντεο διάλεξης 7 Σελίδα
Θέμα 8
- Λέξεις - Κλειδιά: Τετραγωνικές ισοτιμίες, τετραγωνικά υπόλοιπα, σύμβολο Legendre, γεωμετρία των αριθμών.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Συνέχεια της μελέτης της επιλυσιμότητας εξισώσεων στα p-αδικά σώματα \(\mathbb{Q}_{p}\).
  Παραδείγματα.
  Θεώρημα του Cassels.
- Βίντεο διάλεξης 8 Σελίδα
- Φυλλάδιο Ασκήσεων 4 Αρχείο
- Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 4 Αρχείο
Θέμα 9
- Λέξεις - Κλειδιά: Τετραγωνικές μορφές, διγραμμικές μορφές, διαγωνιοποίηση.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων στο \(\mathbb{Q}_{p}\)
  Στοιχεία θεωρίας τετραγωνικών μορφών.
  Παράσταση στοιχείων από τετραγωνική μορφή.
- Βίντεο διάλεξης 9 Σελίδα
Θέμα 10
- Λέξεις - Κλειδιά: Ευκλείδεια περιοχή, περιοχή κύριων ιδεωδών, περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης,πολυώνυμο ανάγωγο, σώμα αλγεβρικά κλειστό, ριζικό ιδεώδους.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Εφαρμογές.
  Το θεώρημα του Legendre.
  Το θεώρημα του Gauss ("ΕΥΡΗΚΑ!").
  Το θεώρημα του Lagrange.
  Στοιχεία αλγεβρικής γεωμετρίας.
  Αριθμητική στον Κ[Χ], Κ σώμα.
- Βίντεο διάλεξης 10 Σελίδα
- Φυλλάδιο Ασκήσεων 5 Αρχείο
- Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 5 Αρχείο
Θέμα 11
- Λέξεις - Κλειδιά: Σύνολο ριζών, αλγεβρικά σύνολα, ανάγωγα αλγεβρικά σύνολα, ριζικά ιδεώδη.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Η περιοχή Κ[Χ], ιδιότητες, ιδεώδη, αλγεβρικά σύνολα, ανάγωγα αλγεβρικά σύνολα, ριζικά ιδεώδη.
  Αντιστοιχία αλγεβρικών υποσυνόλων του \(K^{n}\) και ριζικών ιδεωδών του \(K[X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}]\).
  "Think geometrically, prove algebraically! J. Silverman.
- Βίντεο διάλεξης11 Σελίδα
Θέμα 12
- Λέξεις - Κλειδιά: scheme
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Αντιστοιχία ιδεωδών και αλγεβρικών συνόλων.
- Βίντεο διάλεξης 12 Σελίδα
Θέμα 13
- Λέξεις - Κλειδιά: Αλγεβρική καμπύλη, ιδιάζοντα σημεία και τάξη αυτών, ανάπτυγμα Taylor, πολλαπλότητα τομής.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Αλγεβρικές καμπύλες και ιδιότητες αυτών.
- Βίντεο διάλεξης 13 Σελίδα
- Φυλλάδιο Ασκήσεων 6 Αρχείο
- Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 6 Αρχείο
Θέμα 14
- Λέξεις - Κλειδιά: Πολλαπλότητα τομής.
- Περιεχόμενα διάλεξης:
  Τομή αλγεβρικών καμπύλων.
  Παραδείγματα.
- Βίντεο διάλεξης14 Σελίδα
Θέμα 15
- Λέξεις - Κλειδιά: Προβολικός χώρος, προβολική ευθεία, καμπύλη, επίπεδο.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Παραδείγματα υπολογισμού της πολλαπλότητας τομής.
  Ορισμοί του προβολικού επιπέδου.
- Βίντεο διάλεξης 15 Σελίδα
Θέμα 16
- Λέξεις - Κλειδιά: Πολλαπλότητα τομής σε προβολικές καμπύλες.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Πολλαπλότητα τομής προβολικών αλγεβρικών καμπύλων.
  Θεώρημα του Bezout.
  Εφαρμογές.
- Βίντεο διάλεξης 16 Σελίδα
- Φυλλάδιο Ασκήσεων 7 Αρχείο
- Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 7 Αρχείο
Θέμα 17
- Λέξεις - Κλειδιά: Ανάγωγη καμπύλη, ιδιάζοντα σημεία, σημεία καμπής.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Το θεώρημα των 9 σημείων.
  Εφαρμογές.
- Βίντεο διάλεξης Σελίδα
Θέμα 18
- Λέξεις - Κλειδιά: Μη-ιδιάζουσα κυβική καμπύλη, γένος αλγεβρικής καμπύλης.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Εξίσωση του Weistrass μιας κυβικής καμπύλης.
  Ρητά σημεία κυβικών καμπύλων.
  Γεωμετρική πρόσθεση σημείων.
  Διατύπωση του θεωρήματος Mordell.
- Βίντεο διάλεξης Σελίδα
- Φυλλάδιο Ασκήσεων 8 Αρχείο
- Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 8 Αρχείο
Θέμα 19
- Λέξεις - Κλειδιά: Αλγεβρική ομάδα, προσεταιρισμός, ελλειπτική καμπύλη.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Το σύνολο των ρητών σημείων, αποτελεί αβελιανή ομάδα.
  Απόδειξη των ιδιοτήτων, ιδιαίτερα του προσεταιρισμού.
- Βίντεο διάλεξης Σελίδα
Θέμα 20
- Λέξεις - Κλειδιά: Εφαπτομένη καμπύλης, κλίση ευθείας, σημεία πεπερασμένης μιας ελλειπτικής καμπύλης.
- Περιεχόμενα διάλεξης:
  Αναλυτική περιγραφή της πρόσθεσης σημείων.
  Παραδείγματα και μέθοδοι υπολογισμού.
  Αναφορά του θεωρήματος των Lutz - Nagell.
  Απόδειξη των σημαντικών μερών του θεωρήματος.
- Βίντεο διάλεξης Σελίδα
- Φυλλάδιο Ασκήσεων 9 Αρχείο
- Λύσεις Φυλλαδίου Ασκήσεων 9 Αρχείο
Θέμα 21
- Λέξεις - Κλειδιά: Πεπερασμένη παραγόμενη αβελιανή ομάδα, filtvation.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Παραδείγματα υπολογισμού της ομάδας των ρητών σημείων πεπερασμένης τάξης μιας ελλειπτικής καμπύλης.
  Το θεώρημα του Mordell, ιδέα της απόδειξης.
- Βίντεο διάλεξης Σελίδα
Θέμα 22
- Λέξεις - Κλειδιά: Ύψος ενός ρητού σημείου, τυπικός δακτύλιος, rank μίας πεπερασμένα παραγόμενης αβελιανής ομάδας.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Παραδείγματα υπολογισμού του rank της ομάδας των ρητών σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης.
  Η μέθοδος του Tate.
  Ελλειπτικές καμπύλες με μεγάλο rank.
- Βίντεο διάλεξης Σελίδα
Θέμα 23
- Λέξεις - Κλειδιά: Πεπερασμένα σώματα, local - global principle, εικασία του Riemann, ζήτα συνάρτηση, L-σειρά, ισοδύναμοι αριθμοί.
- Περιεχόμενα Διάλεξης:
  Ρητά σημεία ελλειπτικής καμπύλης ορισμένης σε πεπερασμένο σώμα.
  Local global principle.
  Το θεώρημα του Ηασσε (εικασία Riemann για ελλειπτικές καμπύλες).
  Εικασία των Birch - Swinnerton Dyer.
- Βίντεο διάλεξης Σελίδα